Задание №72091 ЕГЭ Физике

Обоснование
1. Выберем инерциальную систему отсчёта, связанную с Землёй. За начало координат примем первоначальное положение первого шарика.
2. Шарики будем считать материальными точками.
3. Так как сопротивлением воздуха можно пренебречь, то движение шариков можно считать свободным падением.
4. Считаем время взаимодействия шариков при неупругом столкновении малым. Следовательно, импульсом внешней силы (силы тяжести) за это время можно пренебречь. Значит, импульс системы двух шариков при столкновении сохраняется.

Решение
1. Первый шарик начинает движение из начала координат, а второй точки А. До и после столкновения (происходящего в точке В) шарики свободно падают. Поэтому до столкновения для первого шарика

 $$\begin{gathered} {\mathrm{y}}_1\left(\mathrm{t}\right)={\mathrm{v}}_{0\mathrm{y}}\mathrm{t}-\frac{{\mathrm{gt}}^2}{2}={\mathrm{v}}_0\sin \left(\mathrm{\alpha }\right)\mathrm{t}-\frac{{\mathrm{gt}}^2}{2} \\ {\mathrm{v}}_{1\mathrm{y}}={\mathrm{v}}_0\sin \left(\mathrm{\alpha }\right)-\mathrm{gt} \end{gathered}$$

а для второго шарика ${\mathrm{v}}_{2\mathrm{y}}=-\mathrm{gt}.$

2. Шарики сталкиваются в момент ${\mathrm{t}}_1$, при этом импульс системы двух шариков сохраняется: $\mathrm{m}{\overrightarrow{\mathrm{v}}}_1+\mathrm{m}{\overrightarrow{\mathrm{v}}}_2=2\mathrm{m}{\overrightarrow{\mathrm{u}}}_0,$ а скорость ${\overrightarrow{\mathrm{u}}}_0$ шариков после удара согласно условию горизонтальна. Поэтому ${\mathrm{v}}_{1\mathrm{y}}\left({\mathrm{t}}_1\right)+{\mathrm{v}}_{2\mathrm{y}}\left({\mathrm{t}}_1\right)=0,$ или $\left({\mathrm{v}}_0\sin \left(\mathrm{\alpha }\right)-{\mathrm{gt}}_1\right)+\left(-{\mathrm{gt}}_1\right)=0,$ откуда ${\mathrm{t}}_1=\frac{{\mathrm{v}}_0\sin \left(\mathrm{\alpha }\right)}{2\mathrm{g}}.$
3. Столкновение шариков происходит на высоте $\mathrm{h}={\mathrm{y}}_1{\mathrm{t}}_1={\mathrm{v}}_0\sin \left(\mathrm{\alpha }\right)·{\mathrm{t}}_1-\frac{{{\mathrm{gt}}^2}_1}{2}=\frac{{{\mathrm{v}}^2}_0{\sin }^2\left(\mathrm{\alpha }\right)}{2\mathrm{g}}-\frac{{{\mathrm{v}}^2}_0{\sin }^2\left(\mathrm{\alpha }\right)}{8\mathrm{g}}=\frac{3}{8}·\frac{{{\mathrm{v}}^2}_0{\sin }^2\left(\mathrm{\alpha }\right)}{\mathrm{g}}.$
4. Поскольку скорость ${\overrightarrow{\mathrm{u}}}_0$, шариков после удара горизонтальна, интервал времени т от столкновения шариков до их падения на Землю находится из условия $\mathrm{h}=\frac{{\mathrm{g\tau }}^2}{2},$ откуда $\mathrm{\tau }=\sqrt{\frac{2\mathrm{h}}{\mathrm{g}}}=\sqrt{3}\frac{{\mathrm{v}}_0\sin \left(\mathrm{\alpha }\right)}{2\mathrm{g}}.$ Откуда ${\mathrm{v}}_0=\frac{2\mathrm{g\tau }}{\sqrt{3}\sin \left(\mathrm{\alpha }\right)}.$