Задание №81502 ЕГЭ Физике

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчета (ИСО) связанную с Землей.

2. Стержень будем описывать моделью абсолютно твердого тела - его форма и размеры неизменны, расстояние между любыми двумя точками остаются неизменным.

3. Движение абсолютно твердого тела можно описать совокопнустью движений - поступательного и вращательного. Поэтому для равновесия твердого тела в ИСО необходимо два условия. Одно для поступательного движения, другое - для вращательного движения.

4. Сумма всех приложенных к твёрдому телу внешних сил равна нулю (условие равновесия твёрдого тела относительно поступательного движения). Также применимо правило моментов (условие равновесия твёрдого тела относительно вращательного движения)

Решение

Сделаем рисунок с указанием сил, действующих на стержень

Момент силы можно найти по формуле: $\mathrm{M}=\mathrm{Fl}$, где F - сила, а l - её плечо до рассматриваемой оси вращения. Тогда правило моментов относительно точки A: 

${\mathrm{F}}_{\mathrm{y}1}\frac{\mathrm{L}}{2}+\mathrm{mg}\left(\frac{\mathrm{L}}{2}-\mathrm{d}\right)={\mathrm{F}}_{\mathrm{y}2}\frac{\mathrm{L}}{2}$

Здесь: ${\mathrm{F}}_{\mathrm{y}1}\frac{\mathrm{L}}{2}$ - момент силы упругости левой пружинки относительно точки А, $\mathrm{mg}\left(\frac{\mathrm{L}}{2}-\mathrm{d}\right)$ - момент силы тяжести груза относительно точки А, ${\mathrm{F}}_{\mathrm{y}2}\frac{\mathrm{L}}{2}$ - момент силы упругости правой пружинки относительно точки А.
Кроме того, по условию стержень расположен горизонтально (растяжения пружин равно) и жёсткость левой пружины в 2 раза меньше правой ${\mathrm{F}}_{\mathrm{y}1}=\mathrm{kx}$ - сила упругости левой пружины, ${\mathrm{F}}_{\mathrm{y}2}=2\mathrm{kx}$ - сила упругости правой пружины, где k – жёсткость левой пружины, x – удлинение пружины. Тогда правило моментов запишется в виде: $\mathrm{kx}\frac{\mathrm{L}}{2}+\mathrm{mg}\left(\frac{\mathrm{L}}{2}-\mathrm{d}\right)=2\mathrm{kx}\frac{\mathrm{L}}{2}\Rightarrow \mathrm{kx}=\frac{\mathrm{mg}\left(\mathrm{L}-2\mathrm{d}\right)}{\mathrm{L}}.$

Также по правилу моментов относительно точки Б $\mathrm{kxL}=\mathrm{Mg}\frac{\mathrm{L}}{2}+\mathrm{mgd}$

Здесь: kxL - силы упругости левой пружинки относительно точки Б, $\mathrm{Mg}\frac{\mathrm{L}}{2}$ - момент силы тяжести стержня относительно точки Б, mgd - момент силы тяжести груза относительно точки Б. 
Тогда $2\mathrm{mg}\left(\mathrm{L}-2\mathrm{d}\right)=\mathrm{MgL}+2\mathrm{mgd}\Rightarrow \mathrm{M}=\frac{2\left(\mathrm{kxL}-\mathrm{mgd}\right)}{\mathrm{gL}}=3 \mathrm{кг}.$