Задание №77139 ЕГЭ Физике

На шар действуют: сила Архимеда ${\mathrm{F}}_{\mathrm{A}}={\mathrm{\rho }}_{\mathrm{B}}\mathrm{gV}$ сила тяжести, действующая на гелий, ${\mathrm{m}}_{\mathrm{He}}\mathrm{g}$ и сила тяжести, действующая на оболочку, ${\mathrm{m}}_{\mathrm{об}}\mathrm{g}$. По второму закону Ньютона: ${\mathrm{F}}_{\mathrm{A}}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{He}}\mathrm{g}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{об}}\mathrm{g}=0$.

В проекциях на вертикаль: ${\mathrm{F}}_{\mathrm{A}}={\mathrm{m}}_{\mathrm{He}}\mathrm{g}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{об}}\mathrm{g}$
Масса гелия ${\mathrm{m}}_{\mathrm{He}}={\mathrm{\rho }}_{\mathrm{He}}\mathrm{V}$. Силы выразим через радиус r: ${\mathrm{\rho }}_{\mathrm{B}}\mathrm{gV}={\mathrm{m}}_{\mathrm{He}}\mathrm{g}+{\mathrm{m}}_{\mathrm{об}}\mathrm{g}={\mathrm{\rho }}_{\mathrm{He}}\mathrm{gV}+\mathrm{bSg}$,  ${\mathrm{\rho }}_{\mathrm{B}}\mathrm{g}·\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}^3={\mathrm{\rho }}_{\mathrm{He}}\mathrm{g}·\frac{4}{3}{\mathrm{\pi r}}^3+\mathrm{b}·4{\mathrm{\pi r}}^2·\mathrm{g}$

откуда радиус: $\mathrm{r}=\frac{3\mathrm{b}}{{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{\rho }}_{\mathrm{He}}}, \mathrm{где} \mathrm{b}=2 \mathrm{кг}/{\mathrm{м}}^2$ — отношение массы оболочки к ее площади. Плотности гелия и воздуха выражаем из уравнения Менделеева — Клапейрона: $\mathrm{pV}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{M}}\mathrm{RT}, \mathrm{\rho }=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{V}}=\frac{\mathrm{Mp}}{\mathrm{RT}}, {\mathrm{\rho }}_{\mathrm{He}}=\frac{{\mathrm{M}}_{\mathrm{He}}\mathrm{p}}{\mathrm{RT}}, {\mathrm{\rho }}_{\mathrm{B}}=\frac{{\mathrm{M}}_{\mathrm{B}}\mathrm{p}}{\mathrm{RT}}.$

Радиус оболочки: $\mathrm{r}=\frac{3\mathrm{bRT}}{\mathrm{p}\left({\mathrm{M}}_{\mathrm{B}}-{\mathrm{M}}_{\mathrm{He}}\right)}=\frac{3·2·8,31·273}{{10}^5·\left(29·{10}^{-3}-4·{10}^{-3}\right)}\approx 5,445 \mathrm{м}$, масса: $\mathrm{m}=4{\mathrm{\pi r}}^2·\mathrm{b}=4·3,14·5,{445}^2·2\approx 745 \mathrm{кг}.$