Задание №84950 ЕГЭ Профильной математике

Рассматривать функции будем по трём вариантам: параметр положителен, отрицателен и равен нулю.

 $\mathrm{y}=\frac{\mathrm{a}}{2}\mathrm{x}+2\mathrm{a};\mathrm{y}=\mathrm{a}\mathrm{\mid }\mathrm{x}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\mathrm{a}\mid .$

1. Если $\mathrm{a}=0$, то обе функции $\mathrm{y}=0\Rightarrow$фигуры нет $\Rightarrow \mathrm{S}=0$

2. Условия: $\mathrm{a}>0$.

Прямая:

$\mathrm{y}=\frac{\mathrm{a}}{2}\mathrm{x}+2\mathrm{a},\frac{\mathrm{a}}{2}>0$

Функция $1$:

$\mathrm{y}=\mathrm{a}\mathrm{\mid }\mathrm{x}\mathrm{\mid }+\mathrm{a},\mathrm{a}>0$

Вершина: $(0;\mathrm{a})$.

Ветки $\uparrow$.

Координаты: ${\mathrm{y}}_3=2\mathrm{a}$ ${\mathrm{y}}_4=\mathrm{a}$.

Пересечения:

$\frac{\mathrm{a}}{2}{\mathrm{x}}_1+2\mathrm{a}=\mathrm{a}\mathrm{\mid }{\mathrm{x}}_1\mathrm{\mid }+\mathrm{a}\mathrm{\mid }:\frac{\mathrm{a}}{2}\mathrm{.}$

Рассчитываем:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1+4=-2{\mathrm{x}}_1+2 \\ 3{\mathrm{x}}_1=-2 \\ {\mathrm{x}}_1=-\frac{2}{3} \end{gathered}$$

$\frac{\mathrm{a}}{2}{\mathrm{x}}_2+2\mathrm{a}={\mathrm{ax}}_2+\mathrm{a}\mathrm{\mid }:\frac{\mathrm{a}}{2}\mathrm{.}$

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_2+4=2{\mathrm{x}}_2+2 \\ -{\mathrm{x}}_2=-2 \\ {\mathrm{x}}_2=2 \end{gathered}$$

Площадь треугольника:

${\mathrm{S}}_{\mathrm{△}\mathrm{ABC}}=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }{\mathrm{y}}_3-{\mathrm{y}}_4\mathrm{\mid }\cdot (\mathrm{\mid }{\mathrm{x}}_1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{\mathrm{x}}_2\mathrm{\mid })$

$\mathrm{S}=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }2\mathrm{a}-\mathrm{a}\mathrm{\mid }\cdot (\mid -\frac{2}{3}\mid +\mathrm{\mid }2\mathrm{\mid })=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }\mathrm{a}\mathrm{\mid }\cdot (\frac{2}{3}+2)$

$\mathrm{S}=\frac{1}{2}\mathrm{a}\cdot \frac{8}{3}=\frac{4}{3}\mathrm{a}$

$3\le \mathrm{S}<7\mathrm{\mid }:\frac{4}{3}$

Результат: $\frac{9}{4}\le \mathrm{a}<\frac{21}{4}$

Аналогично делаем для отрицательного варианта.

3. Условия: $\mathrm{a}<0$

Прямая:

$\mathrm{y}=-\frac{\mathrm{a}}{2}\mathrm{x}-2\mathrm{a},-\frac{\mathrm{a}}{2}>0$

Функция:

$\mathrm{y}=\mathrm{a}\mathrm{\mid }\mathrm{x}\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }\mathrm{a}\mathrm{\mid },\mathrm{y}=-\mathrm{a}\mathrm{\mid }\mathrm{x}\mathrm{\mid }+\mathrm{a}$

Вершина: $(0;\mathrm{a})$.

Ветки $\downarrow$

Координаты: ${\mathrm{y}}_3=-2\mathrm{a}$, ${\mathrm{y}}_4=\mathrm{a}$.

Пересечения:

$-\frac{\mathrm{a}}{2}{\mathrm{x}}_1-2\mathrm{a}=-\mathrm{a}(-{\mathrm{x}}_1)+\mathrm{a}\mathrm{\mid }:\frac{\mathrm{a}}{2}$

$$\begin{gathered} -{\mathrm{x}}_1-4=2{\mathrm{x}}_1+2 \\ -3{\mathrm{x}}_1=-6 \\ {\mathrm{x}}_1=-2 \end{gathered}$$

$-\frac{\mathrm{a}}{2}{\mathrm{x}}_2-2\mathrm{a}=-{\mathrm{ax}}_2+\mathrm{a}\mathrm{\mid }:\frac{\mathrm{a}}{2}$

$$\begin{gathered} -{\mathrm{x}}_2-4=-2{\mathrm{x}}_2+2 \\ -{\mathrm{x}}_2=-6 \\ {\mathrm{x}}_2=6 \end{gathered}$$

Площадь треугольника:

${\mathrm{S}}_{\mathrm{△}\mathrm{ABC}}=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }{\mathrm{y}}_3-{\mathrm{y}}_4\mathrm{\mid }\cdot (\mathrm{\mid }{\mathrm{x}}_1\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }{\mathrm{x}}_2\mathrm{\mid })\mathrm{.}$

$\mathrm{S}=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }-2\mathrm{a}-\mathrm{a}\mathrm{\mid }\cdot (\mathrm{\mid }-2\mathrm{\mid }+\mathrm{\mid }6\mathrm{\mid })=\frac{1}{2}\mathrm{\mid }-3\mathrm{a}\mathrm{\mid }\cdot 8.$

$\mathrm{S}=-3\mathrm{a}\cdot 4=-12\mathrm{a}$

Условие:

$3\le -12\mathrm{a}<7\mathrm{\mid }:-12$

$-\frac{7}{12}\le \mathrm{a}<-\frac{1}{4}$

Ответ:$\mathrm{a}\in (-\frac{7}{12};-\frac{1}{4})\mathrm{.}$