Задание №85131 ЕГЭ Базовой математике

Обозначим через $\mathrm{a}, \mathrm{b}, \mathrm{c}$ и $\mathrm{d}$ цифры четырехзначного числа. При этом должно выполняться условие:
$\mathrm{a}+\mathrm{b}+\mathrm{c}+\mathrm{d}=\mathrm{abcd}.$
Для простоты положим, что последние две цифры $\mathrm{c}$ и $\mathrm{d}$ равны 1 и 2 соответственно. Это обеспечит делимость числа на 4. Тогда имеем:
$$\begin{gathered} \mathrm{a}+\mathrm{b}+1+2=\mathrm{a}·\mathrm{b}·1·2 \\ \mathrm{a}+\mathrm{b}+3=2\mathrm{ab} \end{gathered}$$
$$\begin{gathered} 2\mathrm{ab}-\mathrm{a}-\mathrm{b}=3 \\ \mathrm{a}·(2\mathrm{b}-1)=3+\mathrm{b} \end{gathered}$$
$\text{a=}\frac{3+\mathrm{b}}{2\mathrm{b}-1}.$
Выберем такое $\mathrm{b}$ в диапазоне от 0 до 9, чтобы получить целое $\mathrm{a}$ в этом же диапазоне. Значение $\mathrm{b}=0$ не подходит (получается отрицательное $\mathrm{a}$). Для $\mathrm{b}=1$ имеем:
$\mathrm{a}=\frac{3+1}{2·1-1}=4$ и число 4112 сумма цифр которого и произведение равны.