Задание №86918 ЕГЭ Профильной математике

Рассматривать функции будем по трем вариантам: параметр положителен, отрицателен и равен нулю. 

$$\begin{gathered} \mathrm{y}=\frac{\mathrm{a}}{2}+2\mathrm{a}; \mathrm{y}=\mathrm{a}\left|\mathrm{x}\right|+\left|\mathrm{a}\right| \\ \mathrm{a}=0 \\ \text{обе функции у}=0 \\ \text{фигуры нет}\Rightarrow \mathrm{S}=0 \end{gathered}$$

$\mathrm{а}>0$

$$\begin{gathered} \mathrm{у}=\frac{\mathrm{а}}{2}\mathrm{х}+\mathrm{а}; \frac{\mathrm{а}}{2}>0 \\ \text{Функция ↗}; \mathrm{а}\cap \mathrm{ОУ} \\ \mathrm{у}=\mathrm{а}\left|\mathrm{х}\right|-\left|\frac{\mathrm{а}}{2}\right|, \mathrm{а}>0 \\ \text{ветви ↗, вершина} \left(0;-\frac{\mathrm{а}}{2}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \text{Пересечения:} \\ \text{1 случай} \\ \frac{\mathrm{а}}{2}{\mathrm{х}}_1+\mathrm{а}=-{\mathrm{ах}}_1-\frac{\mathrm{а}}{2} \\ {\mathrm{х}}_1+2=-2{\mathrm{х}}_1-1 \\ 3{\mathrm{х}}_1=-3 \\ {\mathrm{х}}_1=-1 \\ \text{2 случай} \\ \frac{\mathrm{а}}{2}{\mathrm{х}}_2+\mathrm{а}={\mathrm{ах}}_2-\frac{\mathrm{а}}{2} \\ {\mathrm{х}}_2+2=2{\mathrm{х}}_2-1 \\ -{\mathrm{х}}_2=-3 \\ {\mathrm{х}}_2=3 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\text{Подставляем х}}_1\text{ и} {\mathrm{х}}_2 \\ \text{Получаем}: \\ {\mathrm{у}}_3=\mathrm{а} \\ {\mathrm{у}}_4=-\frac{\mathrm{а}}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{S}=\frac{1}{2}\left|{\mathrm{y}}_3-{\mathrm{y}}_4\right|(\left|{\mathrm{x}}_1\right|+\left|{\mathrm{x}}_2\right|)=\frac{1}{2}\left|\mathrm{a}-\left(-\frac{\mathrm{a}}{2}\right)\right|\left(\left|-1\right|+\left|3\right|\right)=\frac{1}{2}\left|\mathrm{a}+\frac{\mathrm{a}}{4}\right|·4=3\mathrm{a} \\ 6<3\mathrm{a}\le 12 \\ 2<\mathrm{a}\le 4 \end{gathered}$$

$\mathrm{а}<0$

$$\begin{gathered} \mathrm{у}=-\frac{\mathrm{а}}{2}\mathrm{х}-\mathrm{а}; -\frac{\mathrm{а}}{2}<0 \\ \text{Функция убывает}; -\mathrm{а}\cap \mathrm{ОУ} \\ \mathrm{у}=\mathrm{а}\left|\mathrm{х}\right|-\left|\frac{\mathrm{а}}{2}\right| \\ \mathrm{у}=-\mathrm{а}\left|\mathrm{х}\right|-\left|-\frac{\mathrm{а}}{2}\right| \\ \mathrm{у}=-\mathrm{а}\left|\mathrm{х}\right|-\frac{\mathrm{а}}{2} \\ \text{ветви ↙↘, вершина} \left(0; -\frac{\mathrm{а}}{2}\right) \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \text{Пересечения:} \\ \text{1 случай} \\ -\frac{\mathrm{а}}{2}{\mathrm{х}}_1-\mathrm{а}={\mathrm{ах}}_1-\frac{\mathrm{а}}{2} \\ -{\mathrm{х}}_1-2=2{\mathrm{х}}_1-1 \\ -3{\mathrm{х}}_1=1 \\ {\mathrm{х}}_1=-\frac{1}{3} \\ \text{2 случай:} \\ -\frac{\mathrm{а}}{2}{\mathrm{х}}_2-\mathrm{а}=-{\mathrm{ах}}_2-\frac{\mathrm{а}}{2} \\ -{\mathrm{х}}_2-2=-2{\mathrm{х}}_2-1 \\ {\mathrm{х}}_2=1 \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} {\text{Подставляем х}}_1 \text{и} {\mathrm{х}}_2. \text{Получаем}: \\ {\mathrm{у}}_3=-\mathrm{а} \\ {\mathrm{у}}_4=-\frac{\mathrm{а}}{2} \end{gathered}$$

$$\begin{gathered} \mathrm{S}=\frac{1}{2}\left|{\mathrm{y}}_3-{\mathrm{y}}_4\right|(\left|{\mathrm{x}}_1\right|+\left|{\mathrm{x}}_2\right|)=\frac{1}{2}\left|-\mathrm{a}+\frac{\mathrm{a}}{2}\right|\left(\left|-\frac{1}{3}\right|+\left|1\right|\right)=\frac{1}{2}\left|-\frac{\mathrm{a}}{2}\right|·\left(\frac{1}{3}+1\right)=-\frac{\mathrm{а}}{3} \\ 6<-\frac{\mathrm{а}}{3}\le 12 \\ -36<\mathrm{а}\le -18 \end{gathered}$$

Таким образом, $\mathrm{а}\in [-36;-18)\cup \left(2;4\right).$