Задание №89763 ЕГЭ Профильной математике

Область определения функции:

Упростим выражение:

Найдём ординату выколотой точки:

График функции $\mathrm{y}=\frac{({\mathrm{x}}^2+4)(\mathrm{x}+1)}{-1-\mathrm{x}}$ — это парабола $\mathrm{y}=-{\mathrm{x}}^2-4$ с выколотой точкой $(-1;-5)$.

Для того, чтобы построить график функции $\mathrm{y}=-{\mathrm{x}}^2-4,$ нужно график функции $\mathrm{y}=-{\mathrm{x}}^2$ сдвинуть на 4 единицы вниз.

Построим график функции:

$\mathrm{y}=\mathrm{kx}$ — множество прямых, проходящих через начало координат. Прямая $\mathrm{y}=\mathrm{kx}$ имеет с графиком одну точку в следующих случаях:

1. Прямая $\mathrm{y}=\mathrm{kx}$ — касательная к параболе. В этом случае система $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\mathrm{kx}\\ \mathrm{y}=-{\mathrm{x}}^2-4\end{array}\right.$ имеет одно решение. Тогда и уравнение $-{\mathrm{x}}^2-4=\mathrm{kx}$ имеет одно решение. Квадратное уравнение имеет одно решение, когда дискриминант равен 0. Найдём дискриминант этого квадратного уравнения:

$$\begin{gathered} -{\mathrm{x}}^2-4=\mathrm{kx} \\ \mathrm{x}2+\mathrm{kx}+4=0 \\ \mathrm{D}={\mathrm{k}}^2-4·4={\mathrm{k}}^2-16 \end{gathered}$$

Тогда

$$\begin{gathered} {\mathrm{k}}^2-16=0 \\ (\mathrm{k}-4)(\mathrm{k}+4)=0 \\ {\mathrm{k}}_1=4 \\ {\mathrm{k}}_2=-4. \end{gathered}$$

2. Прямая $\mathrm{y}=\mathrm{kx}$ проходит через выколотую точку $(-1;-5)$. 

Тогда

$$\begin{gathered} -5=\mathrm{k}·(-1) \\ \mathrm{k}=5. \end{gathered}$$

Таким образом, $\mathrm{k}\in \left\{-4;4;5\right\}.$