Задание №89771 ЕГЭ Профильной математике

Если $\mathrm{y}\ge 0$, то первое уравнение задаёт окружность ${\mathrm{\varnothing }}_1$ с центром в точке ${\mathrm{C}}_1(4;4)$ радиуса $3$, а если , то оно задаёт окружность ${\mathrm{\varnothing }}_2$ с центром в точке ${\mathrm{C}}_2(4;-4)$ того же радиуса.

При $\mathrm{a}>0$ второе уравнение задаёт окружность $\mathrm{\varnothing }$ с центром в точке $\mathrm{C}(0;4)$ радиуса $\mathrm{a}$. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра $\mathrm{a}$, при каждом из которых окружность $\mathrm{\varnothing }$ имеет ровно две общие точки с объединением окружностей ${\mathrm{\varnothing }}_1$ и ${\mathrm{\varnothing }}_2$.

Координаты точки касания окружностей $\mathrm{\varnothing }$ и ${\mathrm{\varnothing }}_2$ явно видны на чертеже: это точки ${\mathrm{A}}_1(1;4)$ и ${\mathrm{B}}_1(7;4)$. То есть при $\mathrm{a}={\mathrm{CA}}_1=1$ и $\mathrm{a}={\mathrm{CB}}_1=7$ окружности $\mathrm{\varnothing }$ и ${\mathrm{\varnothing }}_2$ касаются. При $\mathrm{a}>7$ и  окружности $\mathrm{\varnothing }$ и ${\mathrm{\varnothing }}_1$ не пересекаются, при  окружности $\mathrm{\varnothing }$ и ${\mathrm{\varnothing }}_2$ имеют $2$ общие точки.

Из точки $\mathrm{C}$ проведём луч ${\mathrm{CC}}_2$ и обозначим ${\mathrm{A}}_2$ и ${\mathrm{B}}_2$ точки его пересечения с окружностью ${\mathrm{\varnothing }}_2$, где ${\mathrm{A}}_2$ лежит между $\mathrm{C}$ и ${\mathrm{C}}_2$. Заметим, что длина отрезка ${\mathrm{CC}}_2=\sqrt{4^2+{(4-(-4))}^2}=\sqrt{80}=4\sqrt{5}$.

При  или $\mathrm{a}>{\mathrm{CB}}_2$ окружности $\mathrm{\varnothing }$ и ${\mathrm{\varnothing }}_2$ не пересекаются. При  окружности $\text{∅}$ и ${\mathrm{\varnothing }}_2$ имеют $2$ общие точки. При $\mathrm{a}={\mathrm{CA}}_2=4\sqrt{5}-3$ или $\mathrm{a}={\mathrm{CB}}_2=4\sqrt{5}+3$, окружности $\mathrm{\varnothing }$ и ${\mathrm{\varnothing }}_2$ касаются.

Исходная система имеет ровно 2 решения тогда и только тогда, когда окружность $\mathrm{\varnothing }$ с одной из окружностей ${\mathrm{\varnothing }}_1$ и ${\mathrm{\varnothing }}_2$ имеет $2$ общие точки, а с другой не пересекается, либо касается одновременно двух окружностей.

Так как , то условию задачи удовлетворяют значения $\mathrm{a}\in (1;4\sqrt{5}-3)\cup (7;4\sqrt{5}+3.$