Задание №89772 ЕГЭ Профильной математике

Если $\mathrm{x}\ge 0$, то первое уравнение задаёт окружность ${\mathrm{\varnothing }}_1$ с центром в точке ${\mathrm{C}}_1(3;3)$ радиуса $2$, а если , то оно задаёт окружность ${\mathrm{\varnothing }}_2$ с центром в точке ${\mathrm{C}}_2(-3;3)$ того же радиуса.

При $\mathrm{a}>0$ второе уравнение задаёт окружность $\mathrm{\varnothing }$ с центром в точке $\mathrm{C}(-3;0)$ радиуса $\mathrm{a}$. Поэтому задача состоит в том, чтобы найти все значения параметра $\mathrm{a}$, при каждом из которых окружность $\mathrm{\varnothing }$ имеет единственную общую точку с объединением окружностей ${\mathrm{\varnothing }}_1$ и ${\mathrm{\varnothing }}_2$.

Из точки $\mathrm{C}$ проведём луч ${\mathrm{CC}}_1$ и обозначим ${\mathrm{A}}_1$ и ${\mathrm{B}}_1$ точки его пересечения с окружностью ${\mathrm{\varnothing }}_1$, где ${\mathrm{A}}_1$ лежит между $\mathrm{C}$ и ${\mathrm{C}}_1$.

Так как ${\mathrm{CC}}_1=\sqrt{6^2+3^2}=\sqrt{45}=3\sqrt{5}$, то ${\mathrm{CA}}_1=3\sqrt{5}-2, {\mathrm{CB}}_1=3\sqrt{5}+2$.

При  или $\mathrm{a}>{\mathrm{CB}}_1$ окружности $\mathrm{\varnothing }$ и ${\mathrm{\varnothing }}_1$ не пересекаются. При  окружности $\mathrm{\varnothing }$ и ${\mathrm{\varnothing }}_1$ имеют $2$ общие точки. При $\mathrm{a}={\mathrm{CA}}_1=3\sqrt{5}-2$ или $\mathrm{a}={\mathrm{CB}}_1=3\sqrt{5}+2$, окружности $\mathrm{\varnothing }$ и ${\mathrm{\varnothing }}_1$ касаются.

Координаты точки касания окружностей $\mathrm{\varnothing }$ и ${\mathrm{\varnothing }}_2$ явно видны на чертеже: это точки ${\mathrm{A}}_2(-3;1)$ и ${\mathrm{B}}_2(-3;5)$. То есть при $\mathrm{a}=1$ и $\mathrm{a}=5$ окружности $\mathrm{\varnothing }$ и ${\mathrm{\varnothing }}_2$ касаются. При остальных значениях параметра $\mathit{a}$ окружности $\mathrm{\varnothing }$ и ${\mathrm{\varnothing }}_2$ либо имеют $2$ общие точки, либо не имеют общих точек.

Исходная система имеет единственное решение тогда и только тогда, когда окружность $\mathrm{\varnothing }$ касается ровно одной из двух окружностей ${\mathrm{\varnothing }}_1$ и ${\mathrm{\varnothing }}_2$ и не пересекается с другой.

Так как , то условию задачи удовлетворяют только числа $\mathrm{a}=1$ и $\mathrm{a}=3\sqrt{5}+2$.