Задание №89786 ЕГЭ Профильной математике

Построим график уравнения $\mathrm{y}=\sqrt{-8-6\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2}$.

Преобразовав подкоренное выражение, получим: $\mathrm{y}=\sqrt{1-({\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+9)}, \mathrm{y}=\sqrt{1-{(\mathrm{x}+3)}^2}$.

Если $\mathrm{y}\ge 0$, то ${\mathrm{y}}^2=1-{(\mathrm{x}+3)}^2,{(\mathrm{x}+3)}^2+{\mathrm{y}}^2=1$.

Если , точек, удовлетворяющих уравнению, нет.

Получилась полуокружность радиусом $1$ с центром в точке $(-3;0)$, лежащая в верхней полуплоскости.

Уравнение $\mathrm{y}+\mathrm{ax}=\mathrm{a}+1$ запишем в виде $\mathrm{y}=-\mathrm{a}(\mathrm{x}-1)+1$ — семейство прямых с угловым коэффициентом $-\mathrm{a}$, проходящих через точку $\mathrm{M}(1;1)$.

Рассмотрим рисунок. Видно, что система имеет единственное решение, если:

1) прямая $\mathrm{MC}$ касается полуокружности, поэтому $-\mathrm{a}={\mathrm{a}}_1=0$,

2) прямая и полуокружность имеют единственную общую точку, при этом .

Найдём ${\mathrm{a}}_2$ из условия, что прямая $\mathrm{y}={\mathrm{a}}_2(\mathrm{x}-1)+1$ проходит через точку $\mathrm{A}(-4;0)$.

$$\begin{gathered} {\mathrm{a}}_2(-4-1)+1=0 \\ {\mathrm{a}}_2=\frac{1}{5} \end{gathered}$$.

Найдём ${\mathrm{a}}_3$ из условия, что прямая $\mathrm{y}={\mathrm{a}}_3(\mathrm{x}-1)+1$ проходит через точку $\mathrm{B}(-2;0)$.

$$\begin{gathered} {\mathrm{a}}_3(-2-1)+1=0 \\ {\mathrm{a}}_3=\frac{1}{3} \end{gathered}$$.

Имеем , значит, .

Следовательно, система имеет единственное решение, если  и $\mathrm{a}=0$.