Задание №89787 ЕГЭ Профильной математике

Построим график уравнения $\mathrm{y}=\sqrt{-5-6\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2}$,

Преобразовав подкоренное выражение, получим $\mathrm{y}=\sqrt{4-({\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+9)}, \mathrm{y}=\sqrt{2^2-{(\mathrm{x}+3)}^2}$.

Если $\mathrm{y}\ge 0$, то ${\mathrm{y}}^2=2^2-{(\mathrm{x}+3)}^2, {(\mathrm{x}+3)}^2+{\mathrm{y}}^2=2^2$.

Если , точек, удовлетворяющих уравнению, нет.

Получилась полуокружность с центром в точке $(-3;0)$ радиусом $2$, лежащая в верхней полуплоскости.

Уравнение $\mathrm{y}-\mathrm{ax}=2-3\mathrm{a}$ запишем в виде $\mathrm{y}=\mathrm{a}(\mathrm{x}-3)+2$ - семейство прямых с угловым коэффициентом $\mathit{a}$, проходящих через точку $\mathrm{M}(3;2)$.

Рассмотрим рисунок. Видно, что прямая и полуокружность имеют две общие точки, если . Прямая $\mathrm{BM}$ касается окружности и является горизонтальной, поэтому её угловой коэффициент равен $0$, значит, ${\mathrm{a}}_1=0$. Найдём ${\mathit{a}}_2$ из условия, что прямая $\mathrm{AM}$ $\mathrm{y}=\mathrm{a}(\mathrm{x}-3)+2$ проходит через точку $\mathrm{A}(-5;0)$.

$\mathrm{a}(-5-3)+2=0, \mathrm{a}=\frac{1}{4}$, значит, ${\mathrm{a}}_2=\frac{1}{4}$.

Следовательно, система имеет ровно два решения при .