Задание №89788 ЕГЭ Профильной математике

Уравнение ${(\mathrm{x}+1)}^2={(\mathrm{y}-2)}^2$ равносильно совокупности двух уравнений

$[\begin{array}{c}\mathrm{x}+1=\mathrm{y}-2\\ \mathrm{x}+1=-\mathrm{y}+2\\ \end{array}$ 

$[\begin{array}{c}\mathrm{y}=\mathrm{x}+3\\ \mathrm{y}=-\mathrm{x}+1\\ \end{array}$

Множество решений этой совокупности совпадает с множеством всех точек, лежащих на двух прямых: $\mathrm{y}=\mathrm{x}+3$ и $\mathrm{y}=-\mathrm{x}+1$. Заметим, что эти прямые проходят через точку $(-1;2)$, так как система $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\mathrm{x}+3\\ \mathrm{y}=-\mathrm{x}+1\end{array}\right.$ имеет единственное решение $(-1;2)$.

При каждом значении $\mathrm{a}$ множеством решений второго уравнения системы ${(\mathrm{x}+1)}^2+{(\mathrm{y}-\mathrm{a})}^2=3{\mathrm{a}}^2-2\mathrm{a}+4$ будет множество всех точек окружности с центром в точке $(-1;\mathrm{a})$, лежащей на прямой $\mathrm{x}=-1$, и радиусом $\sqrt{3{\mathrm{a}}^2-2\mathrm{a}+4}$ (заметим, что $3{\mathrm{a}}^2-2\mathrm{a}+4>0$ для любого $\mathrm{a}$).

Указанные окружности будут иметь ровно три общие точки с парой указанных выше пересекающихся прямых в том и только том случае, когда окружность проходит через точку пересечения этих прямых.

В таком случае точка $(-1;2)$ лежит на окружности, значит, верно равенство ${(-1+1)}^2+{(2-\mathrm{a})}^2=3{\mathrm{a}}^2-2\mathrm{a}+4$.

Отсюда получаем: 

$$\begin{gathered} 4-4\mathrm{a}+{\mathrm{a}}^2=3{\mathrm{a}}^2-2\mathrm{a}+4 \\ 2{\mathrm{a}}^2+2\mathrm{a}=0 \\ 2\mathrm{a}·(\mathrm{a}+1)=0 \end{gathered}$$

$\mathrm{a}=0$ или $\mathrm{a}=-1$.