Задание №89789 ЕГЭ Профильной математике

Уравнение ${(\mathrm{x}-3)}^2={(\mathrm{y}-1)}^2$ равносильно совокупности двух уравнений

$[\begin{array}{c}\mathrm{x}-3=\mathrm{y}-1\\ \mathrm{x}-3=-\mathrm{y}+1\\ \end{array}$ 

$[\begin{array}{c}\mathrm{y}=\mathrm{x}-2\\ \mathrm{y}=-\mathrm{x}+4\\ \end{array}$

Множество решений этой совокупности совпадает с множеством всех точек, лежащих на двух прямых: $\mathrm{y}=\mathrm{x}-2$ и $\mathrm{y}=-\mathrm{x}+4$. Заметим, что эти прямые проходят через точку $(3;1)$, так как система $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{y}=\mathrm{x}-2\\ \mathrm{y}=-\mathrm{x}+4\end{array}\right.$ имеет единственное решение $(3;1)$.

При каждом значении $\mathrm{a}$ множеством решений второго уравнения системы ${(\mathrm{x}-\mathrm{a})}^2+{(\mathrm{y}-1)}^2=3{\mathrm{a}}^2-8\mathrm{a}+9$ будет множество всех точек окружности с центром в точке $(\mathrm{a};1)$, лежащей на прямой $\mathrm{y}=1$, и радиусом $\sqrt{3{\mathrm{a}}^2-8\mathrm{a}+9}$ (заметим, что $3{\mathrm{a}}^2-8\mathrm{a}+9>0$ для любого $\mathrm{a}$).

Указанные окружности будут иметь ровно три общие точки с парой указанных выше пересекающихся прямых в том и только том случае, когда окружность проходит через точку пересечения этих прямых.

В таком случае точка $\text{(3;1)}$ лежит на окружности, значит, верно равенство ${(3-\mathrm{a})}^2+{(1-1)}^2=3{\mathrm{a}}^2-8\mathrm{a}+9$.

Отсюда получаем: 

$$\begin{gathered} 9-6\mathrm{a}+{\mathrm{a}}^2=3{\mathrm{a}}^2-8\mathrm{a}+9 \\ 2{\mathrm{a}}^2-2\mathrm{a}=0 \\ 2\mathrm{a}·(\mathrm{a}-1)=0 \\ \mathrm{a}=0 \end{gathered}$$ 

или $\mathrm{a}=1$.