Задание №89790 ЕГЭ Профильной математике

В левой части уравнения выделим целую часть

$\frac{3\mathrm{x}+\mathrm{a}-{\mathrm{x}}^2+4{\mathrm{a}}^2\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^3}{4{\mathrm{a}}^2\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^3}=\frac{4{\mathrm{a}}^2\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^3}{4{\mathrm{a}}^2\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^3}+\frac{-{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+\mathrm{a}}{4{\mathrm{a}}^2\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^3}=1+\frac{-{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+\mathrm{a}}{4{\mathrm{a}}^2\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^3}$.

Тогда уравнение примет вид $\frac{-{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+\mathrm{a}}{4{\mathrm{a}}^2\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^3}=0$. Оно равносильно системе

$\left\{\begin{array}{l}-{\mathrm{x}}^2+3\mathrm{x}+\mathrm{a}=0\\ \mathrm{4}{\mathrm{a}}^2\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^3\ne 0\end{array}\right.$

 $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}={\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}\\ \begin{array}{cc}\mathrm{x}\ne 0& \mathrm{x}\ne \pm 2\mathrm{a}\end{array}\end{array}\right.$

Решим систему графически в системе координат $\mathrm{xOa}$. Для этого строим графики функций $\mathrm{a}={\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}$ и $\mathrm{a}=\pm \frac{\mathrm{x}}{2}$.

Графиком функции $\mathrm{a}={\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}$ является парабола, ветви которой направлены вверх. Вершина параболы - точка $(\frac{3}{2};-\frac{9}{4})$, точки $(0;0)$ и $(3;0)$ принадлежат параболе. Графиками функций $\mathrm{a}=\pm \frac{\mathrm{x}}{2}$ являются прямые.

Решая уравнение ${\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}=\frac{\mathrm{x}}{2}$, находим точки пересечения прямой $\mathrm{a}=\frac{\mathrm{x}}{2}$ и параболы $\mathrm{a}={\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}: \mathrm{x}=0,\mathrm{x}=\frac{7}{2}$, откуда $\mathrm{a}=0,\mathrm{a}=\frac{7}{4}$. Аналогично, решая уравнение ${\mathrm{x}}^2-3\mathrm{x}=-\frac{\mathrm{x}}{2}$, находим $\mathrm{x}=0,\mathrm{x}=\frac{5}{2}$. Тогда $\mathrm{a}=0,\mathrm{a}=-\frac{5}{4}$. Выкалываем эти точки.

По рисунку видим, что ровно одна точка пересечения параболы с каждой из прямых при $\mathrm{a}=-\frac{9}{4},\mathrm{a}=-\frac{5}{4},\mathrm{a}=0,\mathrm{a}=\frac{7}{4}$