Задание №89791 ЕГЭ Профильной математике

В левой части уравнения выделим целую часть

$\frac{{\mathrm{x}}^3+{\mathrm{x}}^2-16{\mathrm{a}}^2\mathrm{x}-5\mathrm{x}+\mathrm{a}}{{\mathrm{x}}^3-16{\mathrm{a}}^2\mathrm{x}}=\frac{{\mathrm{x}}^3-16{\mathrm{a}}^2\mathrm{x}}{{\mathrm{x}}^3-16{\mathrm{a}}^2\mathrm{x}}+\frac{{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+\mathrm{a}}{{\mathrm{x}}^3-16{\mathrm{a}}^2\mathrm{x}}=1+\frac{{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+\mathrm{a}}{{\mathrm{x}}^3-16{\mathrm{a}}^2\mathrm{x}}$.

Тогда уравнение примет вид $\frac{{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+\mathrm{a}}{{\mathrm{x}}^3-16{\mathrm{a}}^2\mathrm{x}}=0$.

Оно равносильно системе

$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{x}}^2-5\mathrm{x}+\mathrm{a}=0\\ {\mathrm{x}}^3-16{\mathrm{a}}^2\mathrm{x}\ne 0\end{array}\right.$ 

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=-{\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}\\ \begin{array}{cc}\mathrm{x}\ne 0;& \mathrm{x}\ne \pm 4\mathrm{a}\end{array}\end{array}\right.$

Решим систему графически в системе координат $\mathrm{xOa}$. Для этого построим графики функций $\mathrm{a}=-{\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}$ и $\mathrm{a}=\pm \frac{\mathrm{x}}{4}$.

Графиком функции $\mathrm{a}=-{\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}$ является парабола, ветви которой направлены вниз. Вершина параболы - точка $(\frac{5}{2};\frac{25}{4})$, точки (0; 0) и (5; 0) принадлежат параболе. Графиками функций $\mathrm{a}=\pm \frac{\mathrm{x}}{4}$ являются прямые.

Решая уравнение $-{\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}=\frac{\mathrm{x}}{4}$, находим точки пересечения прямой $\mathrm{a}=\frac{\mathrm{x}}{4}$ и параболы $\mathrm{a}=-{\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}: \mathrm{x}=0,\mathrm{x}=\frac{19}{4}$, откуда $\mathrm{a}=0,\mathrm{a}=\frac{19}{16}$. Аналогично, решая уравнение $-{\mathrm{x}}^2+5\mathrm{x}=-\frac{\mathrm{x}}{4}$, находим $\mathrm{a}=0,\mathrm{a}=-\frac{21}{16}$. Выкалываем эти точки.

По рисунку видим, что ровно одна точка пересечения параболы с каждой из прямых будет при $\mathrm{a}=-\frac{21}{16},\mathrm{a}=0,\mathrm{a}=\frac{19}{16};\mathrm{a}=\frac{25}{4}$.