Задание №89792 ЕГЭ Профильной математике

После приведения к общему знаменателю уравнение примет вид $\frac{3^{\mathrm{x}}-\mathrm{a}+\mathrm{a}-1}{\sqrt{3^{\mathrm{x}}-\mathrm{a}}}=1$ или $\frac{3^{\mathrm{x}}-1}{\sqrt{3^{\mathrm{x}}-\mathrm{a}}}=1$. Пусть $3^{\mathrm{x}}=\mathrm{t},\mathrm{t}>0$. Заметим, что после замены каждому положительному корню уравнения $\frac{\mathrm{t}-1}{\sqrt{\mathrm{t}-\mathrm{a}}}=1$ соответствует единственный корень исходного уравнения (это следует из монотонности функции $3^{\mathrm{x}}=\mathrm{t}$). Уравнение $\frac{\mathrm{t}-1}{\sqrt{\mathrm{t}-\mathrm{a}}}=1$ равносильно системе

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{t}-1=\sqrt{\mathrm{t}-\mathrm{a}}\\ \mathrm{t}>\mathrm{a}\end{array}\right.$

Возведём в квадрат обе части первого уравнения, учитывая, что $\mathrm{t}\ge 1$.

$\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}=-{\mathrm{t}}^2+3\mathrm{t}-1\\ \mathrm{t}>\mathrm{a}\\ \mathrm{t}\ge 1\end{array}\right.$

Решим систему графически в системе координат $\mathrm{tOa}$.

Вершина параболы $\mathrm{a}=-{\mathrm{t}}^2+3\mathrm{t}-1$ - точка с координатами $(\frac{3}{2};\frac{5}{4})$.

Графики функций $\mathrm{a}=-{\mathrm{t}}^2+3\mathrm{t}-1$ и $\mathrm{a}=\mathrm{t}$ имеют единственную общую точку $\mathrm{t}=1$. Множество точек, удовлетворяющих неравенству , представляет собой полуплоскость, лежащую ниже прямой $\mathrm{a}=\mathrm{t}$. 

$$\begin{gathered} -{\mathrm{t}}^2+3\mathrm{t}-1=\mathrm{t} \\ {\mathrm{t}}^2-2\mathrm{t}+1=0 \\ \mathrm{t}=1 \end{gathered}$$.

По графику видно, что парабола $\mathrm{a}=-{\mathrm{t}}^2+3\mathrm{t}-1$ и прямая $\mathrm{a}=\mathrm{const}$ имеют ровно две общие точки при условии $\mathrm{t}\ge 1$, если , значит, исходное уравнение имеет ровно два корня при этих же значениях $\mathrm{a}$.