Задание №89798 ЕГЭ Профильной математике

Преобразуем первое уравнение:

Оно задает окружность с центром в точке O(a;2a) и радиусом $\sqrt{5}.$ Найдем траекторию центра окружности:

Таким образом, первое уравнение исходной системы задает окружность с центром в произвольной точке прямой $\mathrm{y}=2\mathrm{x}$ и радиусом $\sqrt{5}.$ Второе уравнение исходной системы — это прямая $\mathrm{y}=-\frac{1}{2}\mathrm{x}.$ Построим графики.

Мы поняли, что точки ${\mathrm{O}}_1({\mathrm{a}}_1;2{\mathrm{a}}_1)$ и ${\mathrm{O}}_2({\mathrm{a}}_2;2{\mathrm{a}}_2)$ таковы, что ${\mathrm{AO}}_1={\mathrm{AO}}_2=\sqrt{5.}$ Очевидно также, что ${\mathrm{a}}_1>0$ и ${\mathrm{a}}_2=-{\mathrm{a}}_1$ Найдем ${\mathrm{a}}_1,$ записав условие на расстояние между $\mathrm{A}$ и ${\mathrm{O}}_1:$

Так как ${\mathrm{a}}_1>0$ то получаем ${\mathrm{a}}_1=1, {\mathrm{a}}_2=-1.$ Очевидно, что при любых $\mathrm{a}\in \left[-1;1\right],$ то есть когда центр принадлежит отрезку ${\mathrm{O}}_1{\mathrm{O}}_2,$ окружность будет иметь пересечения с прямой $\mathrm{y}=-\frac{1}{2}\mathrm{x},$ а при любых $\mathrm{a},$ для которых $\left|\mathrm{a}\right|>1$ — не будет. Получаем ответ $\mathrm{a}\in \left[-1;1\right].$