Задание №89799 ЕГЭ Профильной математике

Рассмотрим вторую скобку:

Следовательно, система равносильна:

Найдем те , при которых горизонтальная прямая $\mathrm{y}=1-2\mathrm{a}$ имеет две точки пересечения со множеством

Заметим, что в силу симметрии полуокружности и параболы относительно оси Oy ординаты точек A и B одинаковы, а также одинаковы ординаты точек C и D. Прямая $\mathrm{y}-1-2\mathrm{a}$ будет иметь с голубым графиком две точки пересечения, находясь в положении r, в положении q и между положениями p и n, исключая положение s.

Ищем ординату точек A и B:  $\mathrm{y}=\sqrt{12-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\sqrt{10}.$.

Ищем ординату точек C и D: $\mathrm{y}=-\frac{1}{4}·{\left(\sqrt{2}\right)}^2+3=\frac{5}{2}.$

$$\begin{gathered} \mathrm{r}: 1-2\mathrm{a}=0 \iff \mathrm{a}=\frac{1}{2}; \\ \mathrm{q}: 1-2\mathrm{a}=\frac{5}{2} \iff \mathrm{a}=-\frac{3}{4}; \\ \mathrm{p}: 1-2\mathrm{a}=3 \iff \mathrm{a}=-1; \\ \mathrm{s}: 1-2\mathrm{a}=\sqrt{10} \iff \mathrm{a}=\frac{1-\sqrt{10}}{2}; \\ \mathrm{n}: 1-2\mathrm{a}=2\sqrt{3} \iff \mathrm{a}=\frac{1-2\sqrt{3}}{2}. \end{gathered}$$

Следовательно, ответ $\mathrm{a}\in (\frac{1-2\sqrt{3}}{2};-1)\cup \left\{\frac{1-\sqrt{10}}{2}\right\}\cup \left\{-\frac{3}{4};\frac{1}{2}\right\}.$