Задание №89801 ЕГЭ Профильной математике

В левой части имеем параболу $\mathrm{y}={\mathrm{x}}^2.$ Правой части соответствует семейство уголков модуля с вершинами на оси ординат, так как координаты вершины (0;a)

Рассмотрим случаи расположения уголка относительно параболы.

1) В положении II вершина уголка совпадает с началом координат, то есть a=0 и уголок имеет три точки пересечения с параболой. Этот случай нам не подходит.

2) Если вершина уголка находится выше положения II, уголок имеет ровно две точки пересечения с параболой: левая ветвь уголка с левой ветвью параболы и правая ветвь уголка с правой ветвью параболы. Этот случай нам подходит.

3) Между положениями I и II каждая из ветвей уголка имеет ровно две точки пересечения с соответствующей ветвью параболы, суммарно четыре точки пересечения. Этот случай нам не подходит.

4) Если вершина уголка находится в положении I, ветви уголка касаются параболы. Этот случай нам подходит, так как уголок имеет ровно две точки пересечения с параболой.

Найдем координаты вершины уголка в положении I. В этом положении правая ветвь уголка, которая описывается уравнением y=x+a, касается параболы, тогда из симметрии картинки и левая ветвь тоже касается. Запишем критерий касания функций $\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)={\mathrm{x}}^2$ и $\mathrm{g}\left(\mathrm{x}\right)=\mathrm{x}+\mathrm{a},$ чтобы найти a:

5) Если вершина уголка находится ниже положения I, то уголок не имеет точек пересечения с параболой. Этот случай нам не подходит.

Объединяя все подходящие a, получаем $\mathrm{a}\in \left\{-\frac{1}{4}\right\}\cup (0;+\infty ).$