Задание №89803 ЕГЭ Профильной математике

Рассмотрим систему внимательнее и преобразуем её условия:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{y}}^2={\left(\sqrt{-{\mathrm{x}}^2-6\mathrm{x}-8}\right)}^2, \mathrm{y}\ge 0\\ \mathrm{y}=-\mathrm{ax}+\mathrm{a}+1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+8=0, \mathrm{y}\ge 0\\ \mathrm{y}=-\mathrm{a}(\mathrm{x}-1)+1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{y}}^2+{\mathrm{x}}^2+6\mathrm{x}+8+1=0+1, \mathrm{y}\ge 0\\ \mathrm{y}=-\mathrm{a}(\mathrm{x}-1)+1\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}{\mathrm{y}}^2+{(\mathrm{x}+3)}^2=1, \mathrm{y}\ge 0\\ \mathrm{y}=-\mathrm{a}(\mathrm{x}-1)+1\end{array}\right. \end{gathered}$$

Получили полуокружность и пучок прямых, проходящих через точку (1;1) Перейдём на координатную плоскость xOy:

1 случай:

При a=0 прямая $\mathrm{y}=-\mathrm{a}(\mathrm{x}-1)+1$ становится параллельной оси абсцисс и проходит ровно через одну точку C полуокружности. Иными словами, OC касается полуокружности – такой случай нам подходит и a=0 – часть ответа.

2 случай:

Когда $\mathrm{a}\in \left[-\frac{1}{3};-\frac{1}{5}\right]$ прямая $\mathrm{y}=-\mathrm{a}(\mathrm{x}-1)+1$ пересекает полуокружность ровно в одной точке. Иными словами, мы берём в ответ все прямые, лежащие между прямыми AO и BO, включая AO и исключая BO. BO пересекает полуокружность уже в двух точках.

Вычисления ключевых значений параметра:

Прямая CO (проходит через точку C(-3;1):):

Прямая AO (проходит через точку A(-2;0):

Прямая BO (проходит через точку B(-4;0):

$$\begin{gathered} 0=-\mathrm{a}(-4-1)+1 \\ \mathrm{a}=-\frac{1}{5}. \end{gathered}$$

Следовательно, $\mathrm{a}\in [-\frac{1}{3};-\frac{1}{5})\cup \left\{0\right\}.$