Задание №89875 ЕГЭ Профильной математике

Уравнение вида $\sqrt{\mathrm{A}}=\sqrt{\mathrm{B}}$ равносильно системе из $\mathrm{A}=\mathrm{B}$ и $\mathrm{A}\ge 0.$ Таким образом, при $\left|\mathrm{x}\right|\ge \left|\mathrm{a}\right|,$ то есть на ОДЗ, получаем

Получаем два предполагаемых решения ${\mathrm{x}}_1=\mathrm{a}, {\mathrm{x}}_2=\frac{\mathrm{a}+1}{2}.$

Назовем число хорошим, если оно удовлетворяет двум требованиям: принадлежит ОДЗ и лежит в отрезке $\left[0;1\right]$ В противном случае, то есть когда не удовлетворяет хотя бы одному из этих условий, будем считать число плохим.

Таким образом, нам подходят ситуации, когда числа ${\mathrm{x}}_1\ne {\mathrm{x}}_2$ и среди них ровно одно хорошее или когда ${\mathrm{x}}_1={\mathrm{x}}_2$ — хорошее.

1) ${\mathrm{x}}_1$ — хорошее, если $\mathrm{a}\in \left[0;1\right].$

2) ${\mathrm{x}}_2$ — хорошее, если $\left|\mathrm{a}+1\right|\ge 2\left|\mathrm{a}\right|$ и $\mathrm{a}\in \left[-1;1\right].$ Решим первое неравенство:

$$\begin{gathered} {\mathrm{a}}^2+2\mathrm{a}+1\ge 4{\mathrm{a}}^2 \\ 3{\mathrm{a}}^2-2\mathrm{a}-1\le 0 \\ \mathrm{a}\in \left[-\frac{1}{3};1\right] \end{gathered}$$

Пересекая с $\mathrm{a}\in \left[-1;1\right],$ получаем $\mathrm{a}\in \left[-\frac{1}{3};1\right].$

Получаем три подходящие нам ситуации:

• «хорошее+плохое»:

  $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}\in \left[0;1\right]\\ \mathrm{a}\notin \left[-\frac{1}{3};1\right]\end{array}\right.\iff \mathrm{a}\notin \varnothing$

• «плохое+хорошее»:

  $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}\notin \left[0;1\right]\\ \mathrm{a}\in \left[-\frac{1}{3};1\right]\end{array}\right.\iff \mathrm{a}\in \left[-\frac{1}{3};0\right]$
• «хорошее+хорошее» и ${\mathrm{x}}_1={\mathrm{x}}_2.$ Совпадают они при $\mathrm{a}=1,$ при котором как раз они являются хорошими.