Задание №89877 ЕГЭ Профильной математике

Введём обозначения для множеств:

$$\begin{gathered} \mathrm{A}: \left\{\begin{array}{l}\mathrm{x}<2\mathrm{a}-1\\ \mathrm{x}<\mathrm{a}\\ \mathrm{x}\ne \mathrm{a}-1\end{array}\right. \\ \mathrm{B}:\left[-1;2\right] \end{gathered}$$

Рассмотрим нули каждого из множителей в уравнении (квадратичного и логарифмического). Если корень принадлежит множеству $\mathrm{A}$, он считается корнем исходного уравнения.

Запишем возможные корни:

${\mathrm{x}}_1=\mathrm{a}-2$

${\mathrm{x}}_2=3$

${\mathrm{x}}_3=2\mathrm{a}-2$

Заметим, что ${\mathrm{x}}_2=3\notin \mathrm{B}$, поэтому, чтобы не нарушать условие задачи, он не должен быть решением уравнения. А это возможно, если ${\mathrm{x}}_2\notin \mathrm{A}$ (такие корни мы далее будем называть "не-A").

Теперь проанализируем ${\mathrm{x}}_1$ и ${\mathrm{x}}_3$. Каждое значение может попасть в одну из четырёх категорий:

1. $\mathrm{x}\in \mathrm{A}$ и $\mathrm{x}\in \mathrm{B}$ — хороший

2. $\mathrm{x}\notin \mathrm{A}$ и $\mathrm{x}\in \mathrm{B}$ — не-A

3. $\mathrm{x}\notin \mathrm{A}$ и $\mathrm{x}\notin \mathrm{B}$ — не-A

4. $\mathrm{x}\in \mathrm{A}$ и $\mathrm{x}\notin \mathrm{B}$ — плохой

Согласно условию задачи:

Тогда по условию задачи среди чисел ${\mathrm{x}}_1, {\mathrm{x}}_3$ не должно быть плохих и должно быть как минимум одно хорошее.

• ${\mathrm{x}}_1$ — хорошее, если

  $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}-2<2\mathrm{a}-1\\ \mathrm{a}-2<\mathrm{a}\\ \mathrm{a}-2\ne \mathrm{a}-1\\ -1\le \mathrm{a}-2\le 2\end{array}\right. \iff \left[1:4\right]$

• ${\mathrm{x}}_3$ — хорошее, если

  $\left\{\begin{array}{l}\mathrm{a}-2<2\mathrm{a}-1\\ \mathrm{a}-2<\mathrm{a}\\ \mathrm{a}-2\ne \mathrm{a}-1\\ -1\le \mathrm{a}-2\le 2\end{array}\right.\iff \mathrm{a}\in [\frac{1}{2};1)\cup \left(1;2\right)$

• ${\mathrm{x}}_2$ — не-А (то есть ${\mathrm{x}}_2\notin \mathrm{A}$) при

  $\mathrm{a}\in (-\infty ;3]\cup \left\{4\right\}$

• ${\mathrm{x}}_1$ — не-А (то есть ${\mathrm{x}}_1\notin \mathrm{A}$) при

  $\mathrm{a}\in (-\infty ;1]$

• ${\mathrm{x}}_3$ — не-А (то есть ${\mathrm{x}}_3\notin \mathrm{A}$) при

  $\mathrm{a}\in \left\{1\right\}\cup \{2;+\infty )$

При условии ${\mathrm{x}}_2$ – не-А нам подходят для пары $({\mathrm{x}}_1;{\mathrm{x}}_3)$ комбинации (хор; не-А), (не-А; хор), (хор; хор), что выполняется при всех