Задание №92114 ЕГЭ Профильной математике

1. Когда дробь равна нулю

Дробь равна нулю, если:

• числитель равен нулю;

• знаменатель определён и не равен нулю.

Значит нужно:

${\mathrm{x}}^2-\mathrm{a}(\mathrm{a}+1)\mathrm{x}+{\mathrm{a}}^3=0$

при условии

$2+\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2>0$

2. Найдём ОДЗ

$$\begin{gathered} 2+\mathrm{x}-{\mathrm{x}}^2>0 \\ -{\mathrm{x}}^2+\mathrm{x}+2>0 \\ {\mathrm{x}}^2-\mathrm{x}-2<0 \\ (\mathrm{x}-2)(\mathrm{x}+1)<0 \\ \mathrm{x}\in (-1,2) \end{gathered}$$

3. Числитель — квадратное уравнение

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}^2-\mathrm{a}(\mathrm{a}+1)\mathrm{x}+{\mathrm{a}}^3=0 \\ \mathrm{D}=\left[\mathrm{a}\right(\mathrm{a}+1){]}^2-4{\mathrm{a}}^3 \\ \mathrm{D}={\mathrm{a}}^2(\mathrm{a}+1{)}^2-4{\mathrm{a}}^3 \\ \mathrm{D}={\mathrm{a}}^2\left[\right(\mathrm{a}+1{)}^2-4\mathrm{a}] \\ \mathrm{D}={\mathrm{a}}^2({\mathrm{a}}^2+2\mathrm{a}+1-4\mathrm{a}) \\ \mathrm{D}={\mathrm{a}}^2({\mathrm{a}}^2-2\mathrm{a}+1) \\ \mathrm{D}={\mathrm{a}}^2(\mathrm{a}-1{)}^2 \end{gathered}$$

 

5. Когда есть два различных корня

$$\begin{gathered} \mathrm{D}>0 \\ {\mathrm{a}}^2(\mathrm{a}-1{)}^2>0 \end{gathered}$$

Это выполняется при

$\mathrm{a}\ne 0\text{и}\mathrm{a}\ne 1$

6. Найдём сами корни

$$\begin{gathered} \mathrm{x}=\frac{\mathrm{a}(\mathrm{a}+1)\pm \sqrt{{\mathrm{a}}^2(\mathrm{a}-1{)}^2}}{2} \\ \sqrt{{\mathrm{a}}^2(\mathrm{a}-1{)}^2}=\mathrm{\mid }\mathrm{a}(\mathrm{a}-1)\mathrm{\mid } \end{gathered}$$

Разберём случай $\mathrm{a}>1$ (иначе корни не попадут в интервал).

Тогда модуль раскрывается без знака:

$\sqrt{\mathrm{D}}=\mathrm{a}(\mathrm{a}-1)$

Корни:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1=\frac{\mathrm{a}(\mathrm{a}+1)-\mathrm{a}(\mathrm{a}-1)}{2} \\ {\mathrm{x}}_1=\frac{{\mathrm{a}}^2+\mathrm{a}-{\mathrm{a}}^2+\mathrm{a}}{2} \\ {\mathrm{x}}_1=\frac{2\mathrm{a}}{2} \\ {\mathrm{x}}_1=\mathrm{a} \end{gathered}$$ ​

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_2=\frac{\mathrm{a}(\mathrm{a}+1)+\mathrm{a}(\mathrm{a}-1)}{2} \\ {\mathrm{x}}_2=\frac{{\mathrm{a}}^2+\mathrm{a}+{\mathrm{a}}^2-\mathrm{a}}{2} \\ {\mathrm{x}}_2=\frac{2{\mathrm{a}}^2}{2} \\ {\mathrm{x}}_2={\mathrm{a}}^2 \end{gathered}$$

7. Требование попадания в интервал $(-1,2)$

Нужно:

$-1<\mathrm{a}<2$ и $-1<{\mathrm{a}}^2<2$

Так как $\mathrm{a}>1$, первое условие даёт:

$1<\mathrm{a}<2$

Второе:

$$\begin{gathered} {\mathrm{a}}^2<2 \\ \mathrm{a}<\sqrt{2} \end{gathered}$$

8. Итог

Объединяем условия:

$1<\mathrm{a}<\sqrt{2}$​