Задание №94571 ЕГЭ Профильной математике

Уравнение квадратное при $\mathrm{a}\ne 2$.

1️⃣ Случай $\mathrm{a}=2$

Тогда уравнение становится линейным:

$$\begin{gathered} -2\mathrm{x}+3=0 \\ \mathrm{x}=\frac{3}{2} \end{gathered}$$​

Но $\frac{3}{2}\notin [-2;0]$

❌ Не подходит.

2️⃣ $\mathrm{a}\ne 2$

Чтобы на отрезке было ровно одно решение, возможны случаи:

• либо один корень лежит в отрезке, второй вне;

• либо касание границы (один корень кратный и лежит в отрезке).

Рассматриваем дискриминант:

$$\begin{gathered} \mathrm{D}={\mathrm{a}}^2-12(\mathrm{a}-2) \\ \mathrm{D}={\mathrm{a}}^2-12\mathrm{a}+24 \end{gathered}$$

Корни существуют при:

${\mathrm{a}}^2-12\mathrm{a}+24\ge 0$

Далее исследуем знаки функции на концах отрезка:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right)=(\mathrm{a}-2){\mathrm{x}}^2-\mathrm{ax}+3$

Вычислим:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}(-2)=4(\mathrm{a}-2)+2\mathrm{a}+3 \\ \mathrm{f}(-2)=4\mathrm{a}-8+2\mathrm{a}+3=6\mathrm{a}-5 \\ \mathrm{f}\left(0\right)=3 \end{gathered}$$

Чтобы на отрезке был ровно один корень, должно выполняться:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}(-2)\cdot \mathrm{f}\left(0\right)\le 0 \\ (6\mathrm{a}-5)\cdot 3\le 0 \\ 6\mathrm{a}-5\le 0 \\ \mathrm{a}\le \frac{5}{6} \end{gathered}$$​

Также учитываем существование корней:

${\mathrm{a}}^2-12\mathrm{a}+24\ge 0$

Решая это неравенство, получаем:

$\mathrm{a}\le 6-2\sqrt{3}\text{или}\mathrm{a}\ge 6+2\sqrt{3}$

Пересекаем с $\mathrm{a}\le \frac{5}{6}$.

Итог:

$\mathrm{a}\le 6-2\sqrt{3}$