Задание №94613 ЕГЭ Профильной математике

Пусть $\mathrm{t}+{12}^{\left|\mathrm{x}\right|}\ge 1$ , т.к. $\left|\mathrm{x}\right|\ge 0$ , тогда ${\mathrm{t}}^2-2\mathrm{t}+\mathrm{a}\ge 0$

Получаем параболу с ветвями вверх, ${\mathrm{t}}_0=-\frac{\mathrm{b}}{2\mathrm{a}}=-\frac{-2}{2·1}=1$

$\mathrm{D}=4-4\mathrm{a}$

1. $\mathrm{D}\le 0\iff \mathrm{a}\ge 1$. В этом случае $\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)\ge 0$ при $\mathrm{t}\in \mathrm{R}$ , в т.ч. при $\mathrm{t}\ge 1\Rightarrow {12}^{\left|\mathrm{x}\right|}\ge 1\Rightarrow \mathrm{x}\in \mathrm{R}$
2. $\mathrm{D}>0\iff \mathrm{a}<1$. В этом случае квадратный трехчлен $\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)$ имеет два различных корня ${\mathrm{t}}_1$ и ${\mathrm{t}}_2, {\mathrm{t}}_1<{\mathrm{t}}_2$ и принимает неотрицательные значения на промежутках $(-\infty ;{\mathrm{t}}_1]\cup [{\mathrm{t}}_2;+\infty )$

Поскольку ${\mathrm{t}}_0=1$, условие неотрицательности $\mathrm{f}\left(\mathrm{t}\right)$ при $\mathrm{t}\ge 1$ будет выполнено лишь тогда, когда $\mathrm{t}\in [{\mathrm{t}}_2;+\infty )$

Найдя ${\mathrm{t}}_2=1+\sqrt{1-\mathrm{a}}$ и сделав обратную замену, приходим при $\mathrm{a}<1$ к неравенству ${12}^{\left|\mathrm{x}\right|}\ge 1+\sqrt{1-\mathrm{a}}\Rightarrow \left|\mathrm{x}\right|\ge {\log }_{12}\left(1+\sqrt{1-\mathrm{a}}\right)$

Ответ: при $$\begin{gathered} \mathrm{a}\in (-\infty ;1): \mathrm{x}\in (-\infty ;-{\log }_{12}\left(1+\sqrt{1-\mathrm{a}}\right)]\cup [{\log }_{12}\left(1+\sqrt{1-\mathrm{a}}\right);+\infty ) \\ \mathrm{a}\in [1;+\infty ): \mathrm{x}\in \mathrm{R} \end{gathered}$$