Задание №94614 ЕГЭ Профильной математике

Всегда ли это уравнение является биквадратным относительно $\mathrm{x}$?
Нет, не всегда. Если коэффициент при ${\mathrm{x}}^4$ равен нулю, уравнение упростится.

Рассмотрим два случая.

1) $$\begin{gathered} \mathrm{a}-2=0 \\ \mathrm{a}=2 \end{gathered}$$

Тогда уравнение примет вид

$2=0$

Это невозможно, следовательно действительных корней нет.

Условие задачи выполняется.

2) $\mathrm{a}\ne 2$

Сделаем замену

$$\begin{gathered} \mathrm{t}={\mathrm{x}}^2,\mathrm{t}\ge 0 \\ (\mathrm{a}-2){\mathrm{t}}^2+2(\mathrm{a}-2)\mathrm{t}+2=0 \\ {\mathrm{t}}^2+2\mathrm{t}+\frac{2}{\mathrm{a}-2}=0 \end{gathered}$$

Чтобы исходное уравнение не имело действительных корней, квадратное уравнение не должно иметь неотрицательных решений $\text{t}$.

Для начала найдём дискриминант:

$$\begin{gathered} \mathrm{D}=4-4\cdot \frac{2}{\mathrm{a}-2} \\ \mathrm{D}=4-\frac{8}{\mathrm{a}-2} \end{gathered}$$​

Чтобы уравнение не имело действительных решений $t$:

$$\begin{gathered} \mathrm{D}<0 \\ 4-\frac{8}{\mathrm{a}-2}<0 \\ \frac{8}{\mathrm{a}-2}>4 \end{gathered}$$

Решая неравенство, получаем

$2<\mathrm{a}<4$