Задание №28469 ЕГЭ Профильной математике

Пусть  x  человек работает на первом заводе, тогда на втором заводе будут работать 15-x человек. Сотсавим функцию, описывающую зарплату рабочих на двух заводах:

$\mathrm{f}\left(\mathrm{x}\right) =15\mathrm{x}+{(15-\mathrm{x})}^2-3(15-\mathrm{x})=15\mathrm{x}+225-30x+{\mathrm{x}}^2-45+3\mathrm{x}= x^2-12x+180$

Чтобы выплаты на зарплату рабочих оказались наименьшими найдем точку минимума данной функции. Для этого возьмем ее производную и приравняем к нулю:

$$\begin{gathered} \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right) = 2\mathrm{x}-12 \\ \mathrm{f}\text{'}\left(\mathrm{x}\right) = 0 \iff 2\mathrm{x}-12 = 0 \iff \mathrm{x} = 6 \end{gathered}$$

Таким образом, x=6 - точка минимума функции. Мы нашли, что 6 человек должно работать на первом заводе м 15-6=9 человек на втором, чтобы зарплата рабочим была наименьшей.

Чтобы найти найти наименьшее значение зарплаты рабочим, подставим точку минимума в исходнуж функцию:

$\mathrm{f}\left(6\right) = 6^2-12\times 6+180=36-72+180=144$

Ответ: на первом заводе - 6 человек, на втором заводе - 9. 144 у.е.