Задание №89661 ЕГЭ Профильной математике

Пусть  ${\mathrm{x}}^2$ часов рабочие трудятся на заводе, расположенном в первом городе, производя $\mathrm{x}$ единиц товара,  ${\mathrm{y}}^2$ часов – во втором, производя $\mathrm{y}$  единиц товара. Тогда сумма оплаты труда рабочих за неделю:

$$\begin{gathered} 400{\mathrm{x}}^2+300{\mathrm{y}}^2=84000000, \\ \mathrm{где} \mathrm{x}\in [0;100\sqrt{21}],\mathrm{y}\in [0;200\sqrt{7}]. \end{gathered}$$

Пусть $\mathrm{z}$  – общее количество единиц товара. Тогда:$\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{y}.$  

Следовательно:

$$\begin{gathered} \left\{\begin{array}{l}\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{y}\\ 400{\mathrm{x}}^2+300{\mathrm{y}}^2=84000000\end{array}\right. \\ \left\{\begin{array}{l}\mathrm{z}=\mathrm{x}+\mathrm{y}\\ \mathrm{y}=\sqrt{280000-\frac{4{\mathrm{x}}^2}{3}}\end{array}\right. \\ \mathrm{z}=\mathrm{x}+\sqrt{280000-\frac{4{\mathrm{x}}^2}{3}} \end{gathered}$$

Требуется найти $\mathrm{z}$ наибольшее при  $\mathrm{x}\in [0;100\sqrt{21}]$.  Найдём производную:

$\mathrm{z}\text{'}=1-\frac{4\mathrm{x}}{3\sqrt{280000-{\displaystyle \frac{4{\mathrm{x}}^2}{3}}}}=\frac{\sqrt{2520000-12{\mathrm{x}}^2}-4\mathrm{x}}{\sqrt{2520000-12{\mathrm{x}}^2}}.$

Найдём нули производной: 

$$\begin{gathered} \frac{\sqrt{2520000-12{\mathrm{x}}^2}-4\mathrm{x}}{\sqrt{2520000-12{\mathrm{x}}^2}}=0 \\ \sqrt{2520000-12{\mathrm{х}}^2}=4\mathrm{х} \\ 2520000-12{\mathrm{х}}^2=16{\mathrm{х}}^2 \\ {\mathrm{х}}^2=90000 \\ \mathrm{х}=300. \end{gathered}$$

 

Следовательно, $\mathrm{x}=300$  –  точка максимума, и значит $\mathrm{z}$ будет наибольшим при $\mathrm{x}=300$.

$\mathrm{z}\left(300\right)=300+\sqrt{280000-\frac{4\cdot 90000}{3}}=300+\sqrt{160000}=300+400=700$ единиц товара.