Задание №60801 ЕГЭ Профильной математике

Обозначим ${\mathrm{p}}_1$ и ${\mathrm{V}}_1$ как начальные значения давления и объема газа соответственно, а ${\mathrm{p}}_2$и ${\mathrm{V}}_2$ — конечные значения. Согласно уравнению ${\mathrm{pV}}^{\mathrm{a}}=\text{const}$, выполняется равенство:

$\frac{{\mathrm{p}}_2}{{\mathrm{p}}_1}={\left(\frac{{\mathrm{V}}_1}{{\mathrm{V}}_2}\right)}^{\mathrm{a}}\mathrm{.}$

По условию задачи необходимо, чтобы $\frac{{\mathrm{p}}_2}{{\mathrm{p}}_1}\ge 2$, а также известно, что $\frac{{\mathrm{V}}_1}{{\mathrm{V}}_2}=32$. Таким образом, задача сводится к решению неравенства:

${32}^{\mathrm{a}}\ge 2$

Применяя логарифмы или сравнение степеней, находим минимальное значение $a$, которое удовлетворяет данному неравенству:

$\mathrm{a}=\frac{\log 2}{\log 32}=\frac{1}{5}=0,2.$