Задание №67069 ЕГЭ Профильной математике

Объём воды в баке пропорционален высоте столба воды. Для оставшегося объёма в четверть начального высота $\mathrm{H}\left(\mathrm{t}\right)$будет равна:

$\frac{1}{4}{\mathrm{H}}_0={\mathrm{H}}_0-\sqrt{2\cdot 10\cdot 20}\cdot \frac{1}{200}\cdot \mathrm{t}+\frac{10}{2}\cdot {\left(\frac{1}{200}\right)}^2\cdot {\mathrm{t}}^2$

$\frac{1}{4}\cdot 20=20-\sqrt{400}\cdot \frac{1}{200}\cdot \mathrm{t}+5\cdot \frac{1}{40000}\cdot {\mathrm{t}}^2$

$5=20-\frac{20}{200}\cdot \mathrm{t}+\frac{1}{8000}\cdot {\mathrm{t}}^2$

$\frac{1}{8000}{\mathrm{t}}^2-\frac{1}{10}\mathrm{t}+15=0$

${\mathrm{t}}^2-800\mathrm{t}+120000=0$

$\mathrm{D}=(-800{)}^2-4\cdot 1\cdot 120000=640000-480000=160000={400}^2$

${\mathrm{t}}_1=\frac{800-400}{2}=200\text{\hspace{0.17em}с}$

${\mathrm{t}}_2=\frac{800+400}{2}=600\text{\hspace{0.17em}с}$

Так как ${\mathrm{t}}_1=200\text{\hspace{0.17em}с}$ — это момент, когда высота воды в баке достигает четверти начальной, и ${\mathrm{t}}_2=600\text{\hspace{0.17em}с}$ — это время полного опустошения бака, нас интересует ${\mathrm{t}}_1$.