Задание №68301 ЕГЭ Физике

На шар действуют: сила Архимеда ${\mathrm{F}}_{\mathrm{A}}={\mathrm{\rho }}_{\mathrm{B}}\mathrm{gV},$ сила тяжести, действующая на воздух внутри, $\mathrm{mg}$ и сила тяжести, действующая на оболочку, $\mathrm{Mg}$ По второму закону Ньютона: $\overrightarrow{{\mathrm{F}}_{\mathrm{A}}}+\mathrm{m}\overrightarrow{\mathrm{g}}+\mathrm{M}\overrightarrow{\mathrm{g}}=0$

В проекциях на вертикаль: ${\mathrm{F}}_{\mathrm{A}}=\mathrm{mg}+\mathrm{Mg}$

Условие подъема шара: ${\mathrm{F}}_{\mathrm{A}}\ge \mathrm{mg}+\mathrm{Mg}$, где M  — масса оболочки, $\mathrm{m}=\mathrm{\rho V}$  — масса воздуха внутри оболочки, отсюда: ${\mathrm{\rho }}_0\mathrm{gV}\ge \mathrm{Mg}+\mathrm{\rho gV}$, ${\mathrm{\rho }}_0\mathrm{V}\ge \mathrm{M}+\mathrm{\rho V}$, 

где ρ₀  — плотность окружающего воздуха, ρ  — плотность воздуха внутри оболочки, V  — объем шара.

Для воздуха внутри шара находим: $\frac{\mathrm{pV}}{\mathrm{T}}=\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{\mu }}\mathrm{R}$ или $\frac{\mathrm{m}}{\mathrm{V}}=\frac{\mathrm{p}·\mathrm{\mu }}{\mathrm{R}·\mathrm{T}}=\mathrm{\rho }$ где p  — атмосферное давление, $\mu$  — молярная масса воздуха, T  — температура воздуха внутри шара. Соответственно, имеем плотность воздуха снаружи: $\frac{\mathrm{p\mu }}{{\mathrm{RT}}_0}={\mathrm{\rho }}_0$, где T₀  — температура окружающего воздуха. Тогда при минимальной массе оболочки выполняется равенство: $\frac{\mathrm{p\mu V}}{{\mathrm{T}}_0\mathrm{R}}=\mathrm{M}+\frac{\mathrm{p\mu V}}{\mathrm{TR}}$

Таким образом, масса оболочки: $\mathrm{M}=\frac{\mathrm{p\mu V}\left(\mathrm{T}-{\mathrm{T}}_0\right)}{{\mathrm{RTT}}_0}=\frac{{10}^5·29·{10}^{-3}·190·235}{8,31·273·508}\approx 112,35 \mathrm{кг}$.