Задание №78705 ЕГЭ Профильной математике

Так как в баке должна остаться четверть первоначального объема воды, то

$\mathrm{H}=\frac{1}{4}{\mathrm{H}}_0=\frac{1}{4}\cdot 20=5$

Подставим это значение в уравнение:

$\frac{\mathrm{g}}{2}{\mathrm{k}}^2{\mathrm{t}}^2-\sqrt{2{\mathrm{gH}}_0}\mathrm{kt}+{\mathrm{H}}_0=\mathrm{H}$

Пусть $\mathrm{kt}=\mathrm{x}$. Тогда:

$\frac{10}{2}{\mathrm{x}}^2-\sqrt{2\cdot 10\cdot 20}\mathrm{x}+20=5$

Преобразуем:

$5{\mathrm{x}}^2-20\mathrm{x}+15=0$

Разделим на 5:

${\mathrm{x}}^2-4\mathrm{x}+3=0$

Найдем корни уравнения:

$$\begin{gathered} {\mathrm{x}}_1=1 \\ {\mathrm{x}}_2=3 \end{gathered}$$

Таким образом:

$$\begin{gathered} {\mathrm{kt}}_1=1 \\ {\mathrm{kt}}_2=3 \end{gathered}$$

Найдем $\mathrm{t}$:

$$\begin{gathered} \frac{1}{50}{\mathrm{t}}_1=1 \\ \frac{1}{50}{\mathrm{t}}_2=3 \end{gathered}$$

Отсюда:

$$\begin{gathered} {\mathrm{t}}_1=50 \\ {\mathrm{t}}_2=150. \end{gathered}$$

Следовательно, через ${\mathrm{t}}_1=50$ с в баке останется четверть первоначального объема.

Замечание: Почему не подходит ${\mathrm{t}}_2=150$ с? Если в исходную формулу вместо $\mathrm{H}$ подставить 0, то есть определить, за какое время вода полностью вытечет из бака, то получим $\mathrm{t}=100$. Следовательно, через 100 секунд в баке не останется воды. Поэтому ${\mathrm{t}}_2=150$ с не подходит.