Задание №78729 ЕГЭ Профильной математике

Так как амплитуда колебаний $\mathrm{A}\left(\mathrm{\omega }\right)$ должна превышать величину ${\mathrm{A}}_0$ не более чем на 12,5%, то должно выполняться неравенство:

$\mathrm{A}\left(\mathrm{\omega }\right)\le {\mathrm{A}}_0\cdot \frac{112,5}{100}\mathrm{.}$

Подставим формулу амплитуды: $\frac{{\mathrm{A}}_0{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2}{\mid {\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2-{\mathrm{\omega }}^2\mid }\le {\mathrm{A}}_0\cdot 1,125.$

Сократим на ${\mathrm{A}}_0$ (так как ${\mathrm{A}}_0>0$): $\frac{{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2}{\mid {\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2-{\mathrm{\omega }}^2\mid }\le 1,125.$

Из данного условия следует, что $\mathrm{\omega }<{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}$, то есть ${\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2>{\mathrm{\omega }}^2$, и тогда $\mathrm{\mid }{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2-{\mathrm{\omega }}^2\mathrm{\mid }={\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2-{\mathrm{\omega }}^2$

Следовательно, получаем: $\frac{{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2}{{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2-{\mathrm{\omega }}^2}\le 1,125.$

Перейдем к решению неравенства: ${\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2\le 1,125\cdot ({\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2-{\mathrm{\omega }}^2)\mathrm{.}$

Раскроем скобки: ${\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2\le 1,125{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2-1,125{\mathrm{\omega }}^2\mathrm{.}$

Перенесем ${\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2$ влево: $1,125{\mathrm{\omega }}^2\le 0,125{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2\mathrm{.}$

Тогда: ${\mathrm{\omega }}^2\le \frac{0,125}{1,125}{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2\mathrm{.}$

Преобразуем дробь: ${\mathrm{\omega }}^2\le \frac{1}{9}{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2\mathrm{.}$

Извлекаем корень: $\mathrm{\omega }\le \frac{{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}}{3}\mathrm{.}$

Подставляем значение ${\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}$: $\mathrm{\omega }\le \frac{360}{3}=120.$