Задание №80828 ЕГЭ Физике

Обоснование

1. Введем инерциальную систему отсчёта (ИСО) связанную с землей.

2. Тела движутся поступательно, размеры шарика малы по сравнению с размерами нити, а пуля еще меньше, поэтому будем описывать шарик и пулю моделью материальной точки.

3. Будем считать, что время соударения шарика и пули мало, а значит нить за это время не успевает заметно отклониться, поэтому в момент столкновения все силы направлены вертикально. Следовательно, в ИСО при попадании пули в шарик сохраняется горизонтальная составляющая импульса системы тел "шарик M + пуля m".

4. После попадания пули в шарик при движении тел по вертикальной окружности механическая энергия равна сумме кинетической и потенциальной энергии тел. То есть

Так как изменения механической энергии тела в ИСО равно работе всех непотенциальных сил, приложенных к телу, а в данном случае такой силой является только сила натяжения нити T (сопротивлением воздуха пренебрегаем), при этом в любой точке траектории сила натяжения нити перпендикулярна скорости, поэтому работа силы натяжения нити T равняется нулю.

5. За нулевой уровень потенциальной энергии примем уровень положения равновесия шара.

Решение
Потенциальная энергия на высоте h равна

где h – высота подъема, M – масса тела, l – длина нити, $\alpha$ – угол отклонения нити.
Кинетическая энергия в нижней точке

где ${\mathrm{v}}_0$ – скорость шара в нижней точке.
Запишем закон сохранения энергия для движения шарика вниз

$\mathrm{Mgl}\left(1-\cos \left(\mathrm{\alpha }\right)\right)=\frac{{{\mathrm{Mv}}_0}^2}{2}\Rightarrow {\mathrm{v}}_0=\sqrt{2\mathrm{gl}\left(1-\cos \left(\mathrm{\alpha }\right)\right)}.$

Запишем закон сохранения импульс в момент удара и закон сохранения энергии после удара и до подъема на максимальную высоту

$\left\{\begin{array}{l}{\mathrm{Mv}}_0-{\mathrm{mv}}_1=\mathrm{Mu}-{\mathrm{mv}}_2\\ \frac{{\mathrm{Mu}}^2}{2}=\mathrm{Mgl}\left(1-\cos \left(\mathrm{\beta }\right)\right)\end{array}\right.$

где h – высота подъема, m – масса пули, u – скорости шара после столкновения.
Тогда из первого уравнения

Из второго уравнения

Изменение импульса пули

$∆\mathrm{p}=\mathrm{m}∆\mathrm{v}=\mathrm{m}\left({\mathrm{v}}_2-{\mathrm{v}}_1\right)=\mathrm{M}\left(\mathrm{u}-{\mathrm{v}}_0\right)=\mathrm{M}\sqrt{2\mathrm{gl}\left(1-\cos \left(\mathrm{\beta }\right)\right)}-\sqrt{2\mathrm{gl}\left(1-\cos \left(\mathrm{\alpha }\right)\right)}$

$∆\mathrm{p}=1·\left(\sqrt{2·10·0,9·\raisebox{1ex}{$2$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$9$}\right.}-\sqrt{2·10·0,9·0,5}\right)=-1 \mathrm{кг}·\raisebox{1ex}{$\mathrm{м}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{с}$}\right.$

Так как в задаче просят найти модуль изменения импульса, то ответ $1 \mathrm{кг}·\raisebox{1ex}{$\mathrm{м}$}\!\left/ \!\raisebox{-1ex}{$\mathrm{с}$}\right.$