Задание №84285 ЕГЭ Профильной математике

Так как амплитуда колебаний $\mathrm{A}\left(\mathrm{\omega }\right)$ должна превосходить величину ${\mathrm{A}}_0$ не более чем на 12,5%, то должно выполняться неравенство:

$$\begin{gathered} \mathrm{A}\left(\mathrm{\omega }\right)\le {\mathrm{A}}_0\cdot \frac{112,5}{100} \\ \frac{{\mathrm{A}}_0{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2}{\mathrm{\mid }{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2-{\mathrm{\omega }}^2\mathrm{\mid }}\le {\mathrm{A}}_0\cdot 1,125 \end{gathered}$$

Разделим обе стороны на ${\mathrm{A}}_0>0$:

$\frac{{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2}{\mathrm{\mid }{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2-{\mathrm{\omega }}^2\mathrm{\mid }}\le \frac{9}{8}\mathrm{.}$

По условию задачи,

$$\begin{gathered} \mathrm{\omega }<{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}} \\ {\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}>\mathrm{\omega } \\ {\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2>{\mathrm{\omega }}^2 \\ {\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2-{\mathrm{\omega }}^2>0 \end{gathered}$$

Таким образом:

$\frac{{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2}{{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2-{\mathrm{\omega }}^2}\le \frac{9}{8}\mathrm{.}$

Умножим обе стороны на $8({\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2-{\mathrm{\omega }}^2)>0$:

$$\begin{gathered} 8{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2\le 9{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2-9{\mathrm{\omega }}^2 \\ 9{\mathrm{\omega }}^2\le {\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2 \end{gathered}$$

Разделим на 9:

$$\begin{gathered} {\mathrm{\omega }}^2\le \frac{{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}^2}{9} \\ \mathrm{\omega }\le \frac{{\mathrm{\omega }}_{\mathrm{p}}}{3} \\ \mathrm{\omega }\le \frac{360}{3} \\ \mathrm{\omega }\le 120{\text{\hspace{0.17em}с}}^{-1} \end{gathered}$$

Следовательно, максимальная частота $\mathrm{\omega }=120{\text{\hspace{0.17em}с}}^{-1}\text{.}$