Задание №29887. В правильной четырёхугольной

Задание №29887 ЕГЭ Профильной математике

Условие задания #29887

В правильной четырёхугольной призме АВСDА₁В₁С₁D₁ сторона АВ основания равна 6, а боковое ребро АА₁ равно $3 корень из 2.$ На ребрах BC и C₁D₁ отмечены точки К и L соответственно, причём ВК = 4, C₁L = 5. Плоскость γ параллельна прямой BD и содержит точки К и L.

а) Докажите, что прямая AC₁ перпендикулярна плоскости γ.

б) Найдите расстояние от точки B₁ до плоскости γ.

Ответ

Ответ:

Решение

а)  Так как плоскость $гамма$ параллельна диагонали основания BD, то пересекает основание ABCD по прямой KK₁ параллельной BD, K₁ лежит на CD. Так как, $ABCD||A_1B_1C_1D_1,$ прямая сечения LL₁ параллельна BD, где L₁ лежит на B₁C₁. Сечением призмы будет трапеция $KK_1LL_1.$

Для того, чтобы прямая была перпендикулярна плоскости, необходимо, чтобы она была перпендикулярна двум пересекающимся прямым, лежащим в этой плоскости.

Заметим, что проекцией прямой AC₁ на плоскость ABCD является прямая AC. Кроме того, $AC\bot BD,$ как диагонали квадрата таким образом по теореме о трех перпендикулярах $AC_1\bot BD,$ следовательно, $AC_1\bot KK_1.$

Рассмотрим плоскость AA₁C₁C. Пусть эта плоскость пересекает прямые KK₁ и LL₁ в точках E и F соответственно. O  — точка пересечения EF и AC₁. Четырёхугольник AA₁C₁C  — прямоугольник, причём $AA_1=3 корень из 2,$ $AC=6 корень из 2,$ $EC= корень из 2,$ $AE=5 корень из 2,$ $FC_1= дробь: числитель: 5 корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби .$

Так как AA₁C₁C прямоугольник, $\Delta AEO\sim\Delta C_1FO, k= дробь: числитель: AE, знаменатель: C_1F конец дроби =2.$ Значит, $C_1O= дробь: числитель: AC_1, знаменатель: 3 конец дроби , FO= дробь: числитель: FE, знаменатель: 3 конец дроби .$ Таким образом,

$C_1O= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби корень из AC в квадрате плюс CC_1 в квадрате = корень из 10,$

$FO= дробь: числитель: 1, знаменатель: 3 конец дроби корень из левая круглая скобка FC_1 минус CE правая круглая скобка в квадрате плюс CC_1 в квадрате = дробь: числитель: корень из 10, знаменатель: 2 конец дроби .$

Тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, $C_1O в квадрате плюс FO в квадрате =10 плюс дробь: числитель: 5, знаменатель: 2 конец дроби = дробь: числитель: 25, знаменатель: 2 конец дроби = левая круглая скобка дробь: числитель: 5 корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби правая круглая скобка в квадрате =C_1F в квадрате ,$ следовательно, треугольник $C_1FO$ прямоугольный, $AC_1\bot EF.$ Таким образом, $AC_1\bot KK_1LL_1.$

б)  Расстояние от точки B₁ до плоскости $гамма$ равно расстоянию до нее от любой точки параллельной ей прямой B₁D₁. Из точки M  — пересечения диагоналей грани $A_1B_1C_1D_1$ в плоскости AA₁C₁C опустим перпендикуляр MH на прямую EF. Так как по доказанному в п. а) $AC_1\bot KK_1LL_1,$ плоскость $AA_1C_1C\bot KK_1LL_1,$ следовательно, указанный перпендикуляр  — искомое расстояние. Найдем $MF= дробь: числитель: A_1C_1, знаменатель: 2 конец дроби минус FC_1= дробь: числитель: корень из 2, знаменатель: 2 конец дроби .$ Заметим, $\Delta MFH\sim\Delta C_1FO, k= дробь: числитель: MF, знаменатель: FC_1 конец дроби = дробь: числитель: 1, знаменатель: 5 конец дроби .$ Таким образом, $MH= дробь: числитель: C_1O, знаменатель: 5 конец дроби = дробь: числитель: корень из 10, знаменатель: 5 конец дроби .$