Задание №43000 ЕГЭ Профильной математике

а) Пусть точка H — середина KN.

Тогда

$$\begin{gathered} MH=\sqrt{M{K}^2-H{K}^2}=\sqrt{64-16}=\sqrt{48} \\ MQ=\sqrt{M{K}^2+K{Q}^2}=\sqrt{64+16}=\sqrt{80} \\ PQ=\sqrt{P{K_1}^2+Q{K_1}^2}=\sqrt{16+16}=\sqrt{32} \end{gathered}$$
Получим, что  $M{P}^2=M{H}^2+H{P}^2={\left(\sqrt{48}\right)}^2+8^2=48+64=112$.

Вместе с тем, $M{P}^2=M{Q}^2+Q{P}^2={\left(\sqrt{80}\right)}^2+{\left(\sqrt{32}\right)}^2=80+32=112$, 

а тогда по теореме, обратной теореме Пифагора, треугольник MQP является прямоугольным с прямым углом Q.

б) Проведём перпендикуляр PR к прямой K₁M₁, кроме нее PR ⊥ K₁K. Следовательно, PR ⊥ KMM₁. Поэтому QR — проекция QP на плоскость KMM₁.

Прямая MQ перпендикулярна QP, тогда по теореме о трёх перпендикулярах MQ ⊥ QR. Следовательно, угол PQR — линейный угол искомого угла.

Длина PR равна половине высоты треугольника K₁M₁N₁, то есть $PR=\frac{4\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}.$

Поэтому

$\sin \angle PQR=\frac{PR}{QP}=\frac{2\sqrt{3}}{4\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{6}}{4}$.

Следовательно, $\angle PQR=arc\sin \frac{\sqrt{6}}{4}$