Задание №43001 ЕГЭ Профильной математике

а) Пусть ребро куба равно 4a. Отметим на ребре BB₁ такую точку N, чтобы $BN=a.$ Прямая MN параллельна прямой DL, следовательно, необходимо проверить, что $\angle NM{D}_1=90.$

По теореме Пифагора вычислим длины сторон треугольника NMD₁:

$$\begin{gathered} M{N}^2=M{B}^2+B{N}^2={\left(2a\right)}^2+a^2=5a^2, \\ {D}_1{N}^2=D_1{B_1}^2+B_1{N}^2=32a^2+9a^2=41a^2, \\ {D}_1{M}^2=D{D_1}^2+D{M}^2=D{D_1}^2+D{A}^2+A{M}^2=16a^2+16a^2+4a^2=36a^2. \end{gathered}$$

Поскольку  $5a^2+36a^2=41a^2=D_1{N}^2=M{N}^2+D_1{M}^2,$

по теореме, обратной теореме Пифагора, получаем, что $\angle NM{D}_1=90°,$ то есть прямая DL перпендикулярна прямой D₁M.

б) Поскольку прямая DL перпендикулярна прямой D₁M, проекции точек D и L на прямую D₁M совпадают. В прямоугольном треугольнике DD₁M имеем

$\cos \angle PMD=\frac{PM}{MD}=\frac{MD}{M{D}_1},$

откуда

$MP=\frac{M{D}^2}{M{D}_1}=\frac{20a^2}{6a}=\frac{10}{3}a$,
Так как по условию 4а = 8, то а=2.
Тогда: $MP=\frac{10}{3}\times 2=\frac{20}{3}$

Ответ: б) $MP=\frac{20}{3}$