Задание №42751 ЕГЭ Профильной математике

а) Заметим, что хорда длиной 16 находится на расстоянии $\sqrt{{17}^2-8^2}=15$ от центра окружности основания, а хорда длиной 30 аналогично — на расстоянии 8. Поэтому расстояние между их проекциями на плоскость, параллельную основаниям цилиндров, составляет либо 15 + 8 = 23, либо 15 − 8 = 7. Тогда расстояние между хордами составляет либо $\sqrt{{24}^2+7^2}$ , либо $\sqrt{{24}^2+{23}^2}.$ По условию реализовался первый случай, в нем проекции хорд лежат по одну сторону от оси цилиндра. Значит, ось не пересекает данную плоскость в пределах цилиндра, то есть основания лежат по одну сторону от нее.

б) Обозначим центры оснований как $O_1$ и $O_2$. Проведем из центра основания с хордой длины 16 серединный перпендикуляр к этой хорде (он имеет длину 15, как уже отмечалось) и из центра другого основания — к другой хорде. Они лежат в одной плоскости $\beta$, перпендикулярной этим хордам. Назовем середину меньшей хорды L, большей M и проекцию M на второе основание - $K(K\in \beta ).$

Тогда $KM, LM \in \beta$ и, значит, KM, LM перпендикулярны хорде, то есть прямой пересечения основания с данной плоскостью.

Значит, искомый угол равен $\angle MLK=arctg\frac{MK}{LK}=arctg \frac{24}{15-8}=arctg\frac{24}{7}.$