Задание №42640 ЕГЭ Профильной математике

а) Проведем через точку $D_1$ прямую, параллельную AN. Она пересекает ребро $A{A}_1$ в точке M, причем треугольники ADN и $D_1{A}_{1}M$ равны. Искомый угол равен углу $B{D}_{1}M$ (или смежному с ним).

б) Примем ребро куба за $a$. Тогда $B{D}_1=a\sqrt{3}.$

Поскольку $DN:N{D}_1=1:3,$ получаем: $DN=\frac{D{D}_1}{4}=\frac{1}{4}a$ и $D_{1}N=D{D}_1-ND=\frac{3}{4}a.$

В прямоугольном треугольнике $M{A}_1{D}_1$ с прямым углом $A_1$ имеем:

$M{D}_1=AN=\sqrt{D{N}^2+A{D}^2}=\frac{\sqrt{17}}{4}a$

В прямоугольном треугольнике MAB с прямым углом A имеем:

$MB=\sqrt{A{B}^2+A{M}^2}=\sqrt{A{B}^2+D_1{N}^2}=\frac{\sqrt{25}}{\sqrt{16}}a=\frac{5}{4}a$

В треугольнике $M{D}_{1}B$ получаем:

$M{B}^2=M{D_1}^2+B{D_1}^2-2\times M{D}_1\times B{D}_1\times \cos \angle B{D}_{1}M$,

откуда

$$\begin{gathered} M{B}^2=M{D_1}^2+B{D_1}^2-2\times M{D}_1\times B{D}_1\times \cos \angle B{D}_{1}M \\ \cos \angle B{D}_{1}M=\frac{M{D_1}^2+B{D_1}^2-M{B}^2}{2\times M{D}_1\times B{D}_1}=\frac{{\displaystyle \frac{17}{16}}{a}^2+3a^2-\frac{25}{16}{a}^2}{2\times {\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{4}}a\times \sqrt{3}a}=\frac{{\displaystyle \frac{40}{16}}}{{\displaystyle \frac{\sqrt{17}}{2}}\times \sqrt{3}}=\frac{5}{\sqrt{51}}=\frac{5\sqrt{51}}{51} \end{gathered}$$

Тогда $\angle B{D}_{1}M=arc\cos \frac{5\sqrt{51}}{51}$.