Задание №43642 ЕГЭ Профильной математике

а) Точка H лежит на отрезке BA. Так как AL= AN, то RL = RN. Это означает, что точка R лежит на MB. Таким образом, точки R и H лежат в плоскости MAB, перпендикулярной плоскости PKL.

$PH=\frac{PK}{\sqrt{2}}=\sqrt{10}$,

$PM=\sqrt{M{H}^2+P{H}^2}=\sqrt{15+10}=\sqrt{25},$

$$\begin{gathered} BA=PN=2\sqrt{5}, \\ MB=MA=\sqrt{M{P}^2-P{A}^2}=\sqrt{25-5}=2\sqrt{5}. \end{gathered}$$

Значит, треугольник MAB равносторонний, а AR — его высота и, следовательно, медиана, R — середина MB.

б)

Пусть E — основание перпендикуляра, опущенного из точки R на прямую ML. Прямые AR и RE перпендикулярны, так как AR — высота пирамиды ALNM. Поскольку отрезок RE перпендикулярен как прямой ML, так и прямой AR, его длина и есть искомое расстояние.

Прямоугольные треугольники MER и MBL подобны, следовательно, $\frac{ER}{BL}=\frac{MR}{ML},$ откуда

$ER=\frac{BL\times MR}{ML}=\frac{MB\times NL}{4ML}=\frac{2\sqrt{5}\times 2\sqrt{5}}{4\sqrt{25}}=1.$