Задание №42999 ЕГЭ Профильной математике

а) По теореме Пифагора

$BD=\sqrt{A{D}^2+A{B}^2}=\sqrt{39+25}=8,$

поэтому $DN=8-BN=5.$ Пусть прямая CN пересекает ребро AB в точке $M_1$. Тогда треугольники $B{M}_{1}N$ и DCN подобны, поэтому $\frac{B{M}_1}{DC}=\frac{BN}{DN}=\frac{3}{5},$ а значит, $B{M}_1=3$ и $A{M}_1=2$. Отрезки $B{M}_1$ и BM равны, следовательно, точка $M_1$ совпадает с точкой M. Таким образом, точка M лежит на прямой NC, а значит, плоскость MNK проходит через точку C.

б) Поскольку $SA=SB=AB=5$ и $SK=BM=3$, отрезок KM параллелен отрезку SB. Пусть плоскость MNK пересекает отрезок SD в точке L. Так как прямая KM параллельна SB, по признаку параллельности прямой и плоскости KM параллельна плоскости SBD. Плоскость SBD и секущая плоскость пересекаются по прямой LN, и по свойству параллельных прямой и плоскости прямая LN параллельна KM и, следовательно, параллельна SB. Треугольники DLN и DSB подобны, поэтому $\frac{DL}{LS}=\frac{DN}{NB}=\frac{5}{3}.$

Тогда $LS=\frac{15}{8}$ и $DL=\frac{25}{8}$. Плоскость MNK пересекает грань CSD по отрезку CL. Угол CSL равен 60°, так как $SC=SD=CD=5.$

По теореме косинусов для треугольника CSL получаем

$C{L}^2=C{S}^2+S{L}^2-2\times CS\times SL\times \angle CSL$

Следовательно, $CL=\frac{35}{8}.$