Задание №42647 ЕГЭ Профильной математике

а) В трапеции ABCD проведем высоту CH. Тогда $DH=\frac{AD-BC}{2}=\frac{BC}{2}=\frac{CD}{2}.$ Следовательно, угол DCH равен 30°, углы ADC и BAH равны 60°, а угол ABC равен 120°. Отрезки BC, AB и CD равны, следовательно, треугольник ABC— равнобедренный. Углы BCA и BAC равны $\frac{180°-\angle ABC}{2}=30°.$

Таким образом, угол CAD равен 30°, тогда угол ACD равен 90°, а значит, отрезки AC и CD перпендикулярны как катеты прямоугольного треугольника ABD. По теореме о трех перпендикулярах отрезки C₁A и CD перпендикулярны и, следовательно, C₁A перпендикулярен C₁D₁

б) Пусть AB = BC = CD = a, а AD = $2а,$тогда $А{А}_1=3а.$Через точку А проведем прямую, параллельную BA₁. Пусть она пересекает прямую BB₁ в точке B₂. Тогда искомый угол равен углу между прямыми AC₁ и AB₂. Найдем его из треугольника AC₁B₂. Пусть BB₂ = BB₁ = AA₁ = 3a. Найдем C₁B₂ по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике B₁B₂C₁:

$C_1{B}_2=\sqrt{B_1{C_1}^2+B_1{B_2}^2}=\sqrt{a^2+{\left(6a\right)}^2}=\sqrt{37}a$.

Прямые AB₂ и BA₁ равны, тогда найдем прямую BA₁ по теореме Пифагора из треугольника BA₁A:

$A_{1}B=\sqrt{A{A_1}^2+A{B}^2}=\sqrt{{\left(3a\right)}^2+a^2}=\sqrt{10}a.$

Рассмотрим прямоугольный треугольник ACD:

$AC=AD\times \sin \angle CDA=AD\times \sin 60°=\sqrt{3}a.$

Найдем C₁A по теореме Пифагора в прямоугольном треугольнике C₁AC:

$C_{1}A=\sqrt{A{C}^2+C{C_1}^2}=\sqrt{3a^2+{\left(3a\right)}^2}=\sqrt{12}a=2\sqrt{3}a.$

Применим теорему косинусов для треугольника C₁AB₂:

$$\begin{gathered} C_1{B_2}^2=A{C_1}^2+A{B_2}^2-2\times A{C}_1\times A{B}_2\times \cos \angle C_{1}A{B}_2\iff \\ \cos \angle C_{1}A{B}_2=\frac{A{C_1}^2+A{B_2}^2-C_1{B_2}^2}{2\times A{C}_1\times A{B}_2}=\frac{12a^2+10a^2-37a^2}{2\times 2\sqrt{3}a\times \sqrt{10}a}=-\frac{15}{4\sqrt{30}}=-\frac{\sqrt{30}}{8}. \end{gathered}$$

$Тогда \angle {С}_{1}A{B}_2=arc\cos \frac{\sqrt{30}}{8}.$