Задание №48029 ЕГЭ Профильной математике

а) Заметим, что если рейтинг кинофильма — целое число, то произведение оценок двух экспертов — точный квадрат. Произведение двух чисел от 1 до 10 не превосходит 90. Под это условие попадают квадраты чисел от 1 до 9. Но числа 1, 25, 49, 64 и 81 не представляются в виде произведения двух различных целых чисел от 1 до 10. Значит, для двух экспертов может быть не более четырёх кинофильмов.

б) Допустим, кинофильмы получили такие наборы оценок: (1; 2; 4), (2; 4; 8), (1; 3; 9). Тогда среднее геометрическое этих наборов — различные целые числа. Условие задачи выполняется.

в) Если кинофильм получил оценки (3; 6; 8; 9), то условие задачи выполняется; экспертов могло быть четверо.

Если экспертов было больше четырёх, то произведение их оценок должно делиться на пятую степень рейтинга кинофильма. Но произведение всех возможных оценок 10! делится только на две пятые степени: 1⁵ или 2⁵. Значит, если экспертов не меньше пяти, то целый рейтинг мог бы равняться только 1 и 2. Но если рейтинг равен 1, то все эксперты выставили 1, а по условию они поставили разные оценки. Если же рейтинг равен 2, то произведение оценок экспертов должно быть степенью двойки, то есть они могли выставить только оценки 1, 2, 4 и 8, а необходимо не менее пяти оценок. Следовательно, экспертов не могло быть более четырёх.

Таким образом, наибольшее возможное число экспертов — четыре.