Задание №76822 ЕГЭ Профильной математике

б) Нет, не могла. Предположим противное. Модуль каждой разности - натуральное число, причём всего выписано 13 модулей разности. Их сумма равна 14, если одна из этих разностей равна 2, а 12 других равна 1. Это означает, что соседними с числом 1 могут быть только числа 2 и 3, при этом |3 - 1| = 2, то есть оставшиеся модули разностей должны равняться 1. Но тогда числа 2 и 3 не могут быть соседними. Значит вторым соседним числом с числом 2 будет число a ≥ 4. Но тогда |a-2| ≥ 2.Изначит, сумма всех модулей разности не меньше, чем |3-1|+|a-2|+11 ≥ 15. Получили противоречие. Следовательно, требуемое не возможно.

в) Пусть изначально на доске были выписаны числа в следующем порядке по часовой стрелке: ${\mathit{a}}_1,{\mathit{a}}_2,...,{\mathit{a}}_{13}$, где каждое ${\mathit{a}}_{\mathit{k}}$ - одно из натуральных чисел от 1 до 13. Заметим, что $\left|{\mathit{a}}_1-{\mathit{a}}_2\right|+|{\mathit{a}}_2-{\mathit{a}}_3|+|{\mathit{a}}_3-{\mathit{a}}_4|+...+|{\mathit{a}}_{12}-{\mathit{a}}_{13}|+|{\mathit{a}}_{13}-{\mathit{a}}_1|=\left({\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_3+...+{\mathit{x}}_{13}\right)-\left({\mathit{y}}_1+{\mathit{y}}_2+{\mathit{y}}_3+...{\mathit{y}}_{13}\right)$. Каждый модуль $\left|{\mathit{a}}_{\mathit{i}}-{\mathit{a}}_{\mathit{i}+1}\right|$ (i = 1, 2, . . . 13) представлен в виде ${\mathit{x}}_{\mathit{i}}-{\mathit{y}}_{\mathit{i}}$, где ${\mathit{x}}_{\mathit{i}}$ - большее из чисел ${\mathit{a}}_{\mathit{i}}$ и ${\mathit{a}}_{\mathit{i}+1}$, ${\mathit{y}}_{\mathit{i}}$ - меньшее из них. Аналогично, $\left|{\mathit{a}}_{13}-{\mathit{a}}_1\right|={\mathit{x}}_{13}-{\mathit{y}}_{13}$. Каждое ${\mathit{a}}_{\mathit{k}}$ встречается среди чисел ${\mathit{x}}_1,{\mathit{x}}_2,...,{\mathit{x}}_{13},{\mathit{y}}_1,{\mathit{y}}_2,...,{\mathit{y}}_{13}$ ровно 2 раза. Тогда ${\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_3+...+{\mathit{x}}_{13}\le 2·13+2·12+2·11+2·10+2·9+2·8+7=133$, а ${\mathit{y}}_1+{\mathit{y}}_2+{\mathit{y}}_3+...+{\mathit{y}}_{13}\ge 2·1+2·2+2·3+2·4+2·5+2·6+7=49$. Отсюда $\left({\mathit{x}}_1+{\mathit{x}}_2+{\mathit{x}}_3+...+{\mathit{x}}_{13}\right)-\left({\mathit{y}}_1+{\mathit{y}}_2+{\mathit{y}}_3+...+{\mathit{y}}_{13}\right)\le 133-49=84$, то есть сумма записанных модулей разностей не превышает 84. Приведём пример, в котором указанная сумма равна 84. Пусть на доске изначально числа в следующем порядке (по часовой стрелке): $1;13;2;12;3;11;4;10;5;9;6;8;7.$

Тогда $\left|1-13\right|+|13-2|+|2-12|+|12-3|+|3-11|+|11-4|+|4-10|++|10-5|+|5-9|+|9-6|+|6-8|+|8-7|+|7-1|=84$.