Задание №53480 ЕГЭ Профильной математике

а) Пусть первая группа образована только числом 5, во второй все остальные. Тогда среднее арифметическое первой группы равно 5, а второй 3,96. Тогда условие соблюдается, , что больше среднего арифметического всех чисел, равного 4.

б) Если числа разбиты на две равные группы, то А - это сумма входящих в эту группу 15 чисел, деленная на 15, и В - аналогично. Тогда А+В - это все 30 чисел, деленные на 15, а  - все 30 чисел, деленные на 30, то есть это среднее арифметическое всех чисел, что и требовалось доказать.

в) Если в каждой из групп равное количество "3" и "5", то А=В==4. Если нет, то есть группа, в которой среднее арифметическое менее 4. Найдем наибольшее значение в такой группе. В такой группе не более 29 чисел. Значит, среди дробей меньше 4, знаменатель которой не больше 29, наибольшая дробь - это .

Пусть А - среднее арифметическое в этой группе, тогда . Тогда .

Получим, что . Покажем, что это значение достигается. Достаточно посмотреть на пример, приведенный в пункте а)