Задание №51741 ЕГЭ Профильной математике

Заметим, что стирают те числа, которые исходно были единицами. Пусть изначально на доске были написаны n единиц и $30-n$ других чисел.

а)   Да, могло быть. Заметим, что сумма этих других чисел равна  Тогда получим неравенство: $\frac{210-n}{2\left(30-n\right)}>14.$ Годится, например, $n=25.$ Тогда подходят такие числа: 25 единиц и числа 35, 36, 37, 38, 39.

б)  Нет, не могло. Теперь сумма всех чисел равна 810. Аналогично решению пункта а) получим двойное неравенство: $12<\frac{810-n}{2\left(30-n\right)}<13.$ Отсюда получаем систему двух неравенств: $720-4n<810-n$ и $810-n<780-26n.$ Тогда $23n>-90$ и одновременно $25n<-30.$ Эта система не имеет решений.

в)  Пусть M  — среднее арифметическое чисел, оставшихся на доске. Тогда

$M=\frac{210-n}{2\left(30-n\right)}=\frac{1}{2}+\frac{180}{2\left(30-n\right)}=\frac{1}{2}+\frac{90}{30-n}.$

Ясно, что M максимально, если n максимально. Вспомним, что исходные числа не превосходят 40. Значит. $210-n\le 40(30-n),$ откуда $39n\le 990\Rightarrow n\le 25.$ Таким образом, пример из пункта а) дает максимально возможное значение среднего арифметического: $M=\frac{210-25}{2\left(30-25\right)}=18,5.$

Ответ: а) да, б) нет, в) 18,5.