Задание №54348 ЕГЭ Профильной математике

а)  Например, последовательность 1, 2, 3, 0, 5, −2, 7, −4, …, 233, −230, 235 удовлетворяет условию задачи (чередуются суммы чисел 3 и 5).

б)  Поскольку 3, 5 и 25  — нечётные числа, любые два соседних члена последовательности имеют разную чётность. На нечётных местах должны стоять нечётные числа, а на чётных  — чётные. Число 235 нечётное, поэтому оно не может стоять на чётном месте. Значит, последовательность не может состоять из 1000 членов.

в)  Рассмотрим три члена последовательности: a_k, a_k+1, a_k+2  

Поскольку a_k + a_k+1 ≥ 3, a_k+1 + a_k+2 ≤ 25, получаем a_k+2 ≤ a_k+22. В предыдущем пункте было показано, что последовательность должна состоять из нечётного числа членов.

Пусть n  =  2m + 1, тогда

откуда m ≥ 11. Значит, последовательность состоит не менее чем из 23 чисел.

Приведём пример последовательности, удовлетворяющей условию задачи, состоящей из 23 членов:

Ответ: а) например, 1, 2, 3, 0, 5, −2, 7, −4, …, 233, −230, 235; б) нет; в) 23.