Задание №65391 ЕГЭ Профильной математике

а) Рассмотрим треугольник $ASC$. В нём $AO=OC$, $SM=MC$, значит, отрезок $OM$ — средняя линия и прямая $AS$ параллельна прямой $OM$ . Точка $K$ не лежит в плоскости $ASC$, значит, плоскости $OMK$ и $ASC$ пересекаются по прямой $MO$, следовательно, прямая $SA$ не лежит в плоскости $OMK$. Тогда прямая $AS$ параллельна плоскости $OMK$, по признаку параллельности прямой и плоскости, что и требовалось доказать.

б) По условию $BK:KC=3:2$, также известно, что $BC=4$. Отсюда следует, что $CK=\frac{8}{5}$ и $BK=\frac{12}{5}$. Пусть плоскости $OMK$ и $SAD$ пересекаются по прямой $EF$, так как плоскость $OMK$ пересекает ребро $SD$в точке $F$, а ребро $AD$ — в точке $E$. Заметим, что точка $E$ симметрична точке $K$ относительно центра основания $O$, а, значит, $AE=CK=\frac{8}{5}$. Прямая $AS$ параллельна плоскости $OMK$, значит, прямая $AS$ не имеет общих точек с прямой $EF$, при этом прямые $AS$ и $EF$ лежат в одной плоскости, значит, они параллельны. Из подобия треугольников $ASD$ и $EFD$ получаем, что $EF=\frac{DE}{DA}\cdot AS=\frac{3}{5}AS$. Найдем боковое ребро:

$$AS=\sqrt{S{O}^2+{\left(\frac{1}{2}AC\right)}^2}=\sqrt{92+8}=10,$$

следовательно, $EF=\frac{3}{5}\cdot 10=6$

Ответ: б) 6.