Задание №66506 ЕГЭ Профильной математике

а) Так как пирамида правильная, то в основании лежит правильный треугольник  а основание высоты этой пирамиды — центр  этого треугольника. Пусть   Тогда  и по теореме о трех перпендикулярах  Следовательно,  — апофема грани 

Проведем  а через точку  проведем  Тогда  Докажем, что 

Пусть  Тогда

Пусть  Тогда

Следовательно,

Значит,

Что и требовалось доказать.

б) Проведем  как показано на рисунке. Тогда  следовательно,  — проекция наклонной  на плоскость  Так как угол между прямой и плоскостью — это угол между прямой и ее проекцией на эту плоскость, то нужно найти 

 — прямоугольный с прямым углом  Следовательно,

Так как  то  следовательно, расстояние от любой точки прямой  до плоскости  одинаково, откуда следует, что  Значит,